设总体 X 的概率密度为:[varphi(x) = } (1)/(theta) e^-(x-1)/(theta), & x > 1 0, & x leq 1 ]其中未知参数 theta > 0. X_1, X_2, ..., X_n 是来自总体 X 的一个样本，求参数 theta 的极大似然估计量 hat(theta)，并判断其是否为 theta 的无偏估计量.

我们来逐步解决这个题目。

题目分析

总体 $ X $ 的概率密度函数为：

$\varphi(x) = \begin{cases} \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x-1}{\theta}}, & x > 1 \\0, & x \leq 1 \end{cases}$

这是一个平移指数分布，可以看作是：
令 $ Y = X - 1 $，则当 $ x > 1 $ 时，$ y > 0 $，且
$f_Y(y) = \frac{1}{\theta} e^{-y/\theta}, \quad y > 0$
即 $ Y \sim \text{Exp}(\theta) $，指数分布，均值为 $ \theta $。

所以 $ X = Y + 1 $，即 $ X $ 是从 1 开始的指数分布。

第一步：写出似然函数

设样本为 $ X_1, X_2, \dots, X_n $，独立同分布。

由于密度函数在 $ x > 1 $ 时为 $ \frac{1}{\theta} e^{-(x-1)/\theta} $，
所以对于每个 $ X_i > 1 $（几乎必然成立，因为概率集中在 $ x>1 $），其密度为：

$\varphi(x_i) = \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x_i - 1}{\theta}}, \quad x_i > 1$

于是，联合密度函数（即似然函数）为：

$L(\theta) = \prod_{i=1}^n \varphi(x_i) = \prod_{i=1}^n \left( \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x_i - 1}{\theta}} \right)$

前提是所有 $ x_i > 1 $，否则密度为 0。我们假设样本都满足 $ x_i > 1 $，这是合理的。

化简似然函数：

$L(\theta) = \frac{1}{\theta^n} \exp\left( -\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n (x_i - 1) \right) = \frac{1}{\theta^n} \exp\left( -\frac{1}{\theta} \left( \sum_{i=1}^n x_i - n \right) \right)$

第二步：取对数似然函数

取自然对数：

$\ln L(\theta) = -n \ln \theta - \frac{1}{\theta} \left( \sum_{i=1}^n x_i - n \right)$

令 $ S = \sum_{i=1}^n x_i $，则：

$\ln L(\theta) = -n \ln \theta - \frac{1}{\theta}(S - n)$

第三步：对 $ \theta $ 求导并令导数为 0

求导：

$\frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = -\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2}(S - n)$

令导数为 0：

$-\frac{n}{\theta} + \frac{S - n}{\theta^2} = 0$

两边乘以 $ \theta^2 $：

$-n\theta + (S - n) = 0 \quad \Rightarrow \quad n\theta = S - n$

解得：

$\hat{\theta} = \frac{S - n}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - 1)$

极大似然估计量

所以，参数 $ \theta $ 的极大似然估计量为：

$\boxed{\hat{\theta} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - 1)}$

也可以写成：

$\hat{\theta} = \bar{X} - 1, \quad \text{其中 } \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$

第四步：判断是否为无偏估计

我们要判断 $ \mathbb{E}[\hat{\theta}] = \theta $ 是否成立。

先计算 $ \mathbb{E}[\hat{\theta}] $：

$\mathbb{E}[\hat{\theta}] = \mathbb{E}\left[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - 1) \right] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[X_i - 1] = \mathbb{E}[X_i - 1]$

因为所有 $ X_i $ 同分布。

由前面分析，$ X_i = Y_i + 1 $，其中 $ Y_i \sim \text{Exp}(\theta) $，指数分布的均值为 $ \theta $。

所以：

$\mathbb{E}[X_i] = \mathbb{E}[Y_i + 1] = \theta + 1 \quad \Rightarrow \quad \mathbb{E}[X_i - 1] = \theta$

因此：

$\mathbb{E}[\hat{\theta}] = \theta$

结论

极大似然估计量 $ \hat{\theta} = \bar{X} - 1 $ 是 $ \theta $ 的无偏估计量。

最终答案

• 极大似然估计量为：
  $\boxed{\hat{\theta} = \bar{X} - 1}$
  其中 $ \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i $。

• 该估计量是 $ \theta $ 的无偏估计量，因为 $ \mathbb{E}[\hat{\theta}] = \theta $。