题目
(2.0分)总体分布非正态,但方差已知,当样本容量足够大时,其样本平均数的分布渐近()。
(2.0分)总体分布非正态,但方差已知,当样本容量足够大时,其样本平均数的分布渐近()。
题目解答
答案
当样本容量足够大时，根据中心极限定理，样本平均数的分布渐近于正态分布。
中心极限定理表明，对于任何总体分布，当样本容量足够大时，样本平均数的分布将接近于正态分布，而且不论总体分布的形状如何。这是统计学中一个重要的结果，使得在大样本情况下可以应用正态分布的性质进行推断和估计。
解析
考查要点：本题主要考查中心极限定理的理解与应用，重点在于掌握大样本情况下样本均值分布的规律。
解题核心思路：
无论总体分布是否为正态，只要样本容量足够大，样本均值的分布都会趋近于正态分布。题目中“总体分布非正态”和“方差已知”是干扰条件，关键点在于样本容量足够大，此时中心极限定理直接适用。
中心极限定理的核心内容为：
- 任意分布的总体，只要方差存在，当样本容量 $n$ 足够大时，样本均值 $\bar{X}$ 的分布近似服从正态分布。
- 具体形式为：
$\bar{X} \sim N\left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right)$
其中 $\mu$ 是总体均值，$\sigma^2$ 是总体方差。
题目条件分析：
- 总体非正态：说明不能直接使用正态分布的性质，但中心极限定理不依赖总体分布形状。
- 方差已知：确保总体方差 $\sigma^2$ 可用于描述样本均值的方差 $\frac{\sigma^2}{n}$。
- 样本容量足够大：满足中心极限定理的触发条件（通常 $n \geq 30$ 时近似成立）。
结论：
在上述条件下，样本均值的分布渐近于正态分布。