某种仪器由甲、乙、丙三个部件组装而成，假定各部件的质量互不影响，且优质品率都是 0.8，如果三个部件全是优质品，那么组装后的仪器一定合格；如果有两个优质品，那么仪器合格的概率为 0.9；如果仅有一个优质品，那么仪器合格的概率为 0.5；如果三个全不是优质品，那么仪器合格的概率为 0.2。(1) 试求仪器的不合格率；(2) 已知某台仪器不合格，试求它的三个部件中恰有一个不是优质品的概率。
某种仪器由甲、乙、丙三个部件组装而成，假定各部件的质量互不影响，且优质品率都是 0.8，如果三个部件全是优质品，那么组装后的仪器一定合格；如果有两个优质品，那么仪器合格的概率为 0.9；如果仅有一个优质品，那么仪器合格的概率为 0.5；如果三个全不是优质品，那么仪器合格的概率为 0.2。 (1) 试求仪器的不合格率； (2) 已知某台仪器不合格，试求它的三个部件中恰有一个不是优质品的概率。
题目解答
答案
我们来逐步分析并解答这个概率题。
题目已知条件：
- 仪器由甲、乙、丙三个部件组成。
- 每个部件是“优质品”的概率为 0.8，且相互独立。
- 优质品率 = 0.8 ⇒ 非优质品率 = 1 - 0.8 = 0.2
根据优质品的数量，仪器合格的概率如下：
| 优质品数量 | 仪器合格概率 |
|---|---|
| 3 个 | 1.0 |
| 2 个 | 0.9 |
| 1 个 | 0.5 |
| 0 个 | 0.2 |
第(1)问：求仪器的不合格率
不合格率 = 1 - 合格率
我们先求仪器合格的总概率，再用 1 减去它。
设 $ X $ 为三个部件中优质品的数量，$ X \sim B(3, 0.8) $
计算 $ P(X = k) $，$ k = 0,1,2,3 $
计算各个 $ P(X = k) $：
- $ P(X=3) = C_3^3 \cdot (0.8)^3 \cdot (0.2)^0 = 1 \cdot 0.512 \cdot 1 = 0.512 $
- $ P(X=2) = C_3^2 \cdot (0.8)^2 \cdot (0.2)^1 = 3 \cdot 0.64 \cdot 0.2 = 3 \cdot 0.128 = 0.384 $
- $ P(X=1) = C_3^1 \cdot (0.8)^1 \cdot (0.2)^2 = 3 \cdot 0.8 \cdot 0.04 = 3 \cdot 0.032 = 0.096 $
- $ P(X=0) = C_3^0 \cdot (0.8)^0 \cdot (0.2)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0.008 = 0.008 $
（验证：0.512 + 0.384 + 0.096 + 0.008 = 1.0，正确）
根据优质品数量，计算仪器合格的总概率：
$P(\text{合格}) = \sum_{k=0}^{3} P(\text{合格} \mid X=k) \cdot P(X=k)$
代入数据：
$P(\text{合格}) = 1.0 \cdot 0.512 + 0.9 \cdot 0.384 + 0.5 \cdot 0.096 + 0.2 \cdot 0.008$
逐项计算：
- $ 1.0 \cdot 0.512 = 0.512 $
- $ 0.9 \cdot 0.384 = 0.3456 $
- $ 0.5 \cdot 0.096 = 0.048 $
- $ 0.2 \cdot 0.008 = 0.0016 $
相加：
$P(\text{合格}) = 0.512 + 0.3456 + 0.048 + 0.0016 = 0.9072$
所以：
$P(\text{不合格}) = 1 - 0.9072 = 0.0928$
✅ 第(1)问答案：仪器的不合格率为 $ \boxed{0.0928} $
第(2)问：已知仪器不合格，求它的三个部件中恰有一个不是优质品的概率
注意：“恰有一个不是优质品” ⇨ 恰有两个是优质品？不对！
我们仔细分析：
- “恰有一个不是优质品” ⇒ 有两个是优质品？不对！
三个部件：
- “恰有一个不是优质品” ⇒ 有两个是优质品？不！
等一下：
- 不是优质品的数量 = 1 ⇒ 优质品数量 = 2
所以：“恰有一个不是优质品” ⇨ 优质品数量为 2
但题目问的是：“已知仪器不合格，求三个部件中恰有一个不是优质品的概率”
即求：
$P(X=2 \mid \text{不合格})$
使用贝叶斯公式：
$P(X=2 \mid \text{不合格}) = \frac{P(\text{不合格} \mid X=2) \cdot P(X=2)}{P(\text{不合格})}$
我们已经知道：
- $ P(X=2) = 0.384 $
- $ P(\text{不合格} \mid X=2) = 1 - P(\text{合格} \mid X=2) = 1 - 0.9 = 0.1 $
- $ P(\text{不合格}) = 0.0928 $（第(1)问结果）
代入：
$P(X=2 \mid \text{不合格}) = \frac{0.1 \cdot 0.384}{0.0928} = \frac{0.0384}{0.0928}$
计算这个值：
先分子分母同时乘以 10000：$ \frac{384}{928} $
约分：
先除以 16：
- $ 384 ÷ 16 = 24 $
- $ 928 ÷ 16 = 58 $
所以 $ \frac{24}{58} = \frac{12}{29} \approx 0.4138 $
精确计算：
$\frac{0.0384}{0.0928} = \frac{384}{928} = \frac{12}{29} \approx 0.4138$
✅ 第(2)问答案：概率为 $ \boxed{\dfrac{12}{29}} $ 或约 $ \boxed{0.4138} $
最终答案：
(1) 仪器的不合格率为 $ \boxed{0.0928} $
(2) 已知仪器不合格，其三个部件中恰有一个不是优质品的概率为 $ \boxed{\dfrac{12}{29}} $（或约 0.4138）
解析
本题主要考查了二项分布、全概率公式以及贝叶斯公式的应用。解题的关键在于先根据二项分布求出不同优质品数量的概率，再利用全概率公式计算仪器合格的概率，进而得到不合格率，最后使用贝叶斯公式求解条件概率。
- 计算不同优质品数量的概率：
设$X$为三个部件中优质品的数量，因为各部件质量互不影响且优质品率都是$0.8$，所以$X\sim B(3, 0.8)$。
根据二项分布的概率公式$P(X = k) = C_{n}^{k}p^{k}(1 - p)^{n - k}$（其中$n = 3$，$p = 0.8$），分别计算$k = 0,1,2,3$时的概率：- $P(X = 3) = C_{3}^{3} \cdot (0.8)^{3} \cdot (0.2)^{0}$
根据组合数公式$C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}$，可得$C_{3}^{3}=\frac{3!}{3!(3 - 3)!}=1$，则$P(X = 3) = 1\times0.512\times1 = 0.512$。 - $P(X = 2) = C_{3}^{2} \cdot (0.8)^{2} \cdot (0.2)^{1}$
$C_{3}^{2}=\frac{3!}{2!(3 - 2)!}=\frac{3\times2!}{2!×1!}=3$，所以$P(X = 2) = 3\times0.64\times0.2 = 0.384$。 - $P(X = 1) = C_{3}^{1} \cdot (0.8)^{1} \cdot (0.2)^{2}$
$C_{3}^{1}=\frac{3!}{1!(3 - 1)!}=\frac{3\times2!}{2!}=3$，则$P(X = 1) = 3\times0.8\times0.04 = 0.096$。 - $P(X = 0) = C_{3}^{0} \cdot (0.8)^{0} \cdot (0.2)^{3}$
$C_{3}^{0}=\frac{3!}{0!(3 - 0)!}=1$，所以$P(X = 0) = 1\times1\times0.008 = 0.008$。
验证：$0.512 + 0.384 + 0.096 + 0.008 = 1.0$，计算正确。
- $P(X = 3) = C_{3}^{3} \cdot (0.8)^{3} \cdot (0.2)^{0}$
- 计算仪器合格的总概率：
根据全概率公式$P(\text{合格}) = \sum_{k = 0}^{3} P(\text{合格} \mid X = k) \cdot P(X = k)$，已知不同优质品数量下仪器合格的概率分别为：
当$X = 3$时，$P(\text{合格} \mid X = 3) = 1.0$；当$X = 2$时，$P(\text{合格} \mid X = 2) = 0.9$；当$X = 1$时，$P(\text{合格} \mid X = 1) = 0.5$；当$X = 0$时，$P(\text{合格} \mid X = 0) = 0.2$。
代入数据可得：
$P(\text{合格}) = 1.0\times0.512 + 0.9\times0.384 + 0.5\times0.096 + 0.2\times0.008$
$= 0.512 + 0.3456 + 0.048 + 0.0016 = 0.9072$。 - 计算仪器的不合格率：
因为不合格率$P(\text{不合格}) = 1 - P(\text{合格})$，所以$P(\text{不合格}) = 1 - 0.9072 = 0.0928$。 - 计算已知仪器不合格时，三个部件中恰有一个不是优质品（即优质品数量为$2$）的概率：
“恰有一个不是优质品”意味着优质品数量为$2$，要求$P(X = 2 \mid \text{不合格})$，根据贝叶斯公式$P(X = 2 \mid \text{不合格}) = \frac{P(\text{不合格} \mid X = 2) \cdot P(X = 2)}{P(\text{不合格})}$。
已知$P(X = 2) = 0.384$，$P(\text{不合格} \mid X = 2) = 1 - P(\text{合格} \mid X = 2) = 1 - 0.9 = 0.1$，$P(\text{不合格}) = 0.0928$。
代入可得：
$P(X = 2 \mid \text{不合格}) = \frac{0.1\times0.384}{0.0928} = \frac{0.0384}{0.0928}$
将分子分母同时乘以$10000$得$\frac{384}{928}$，约分，先除以$16$，$384\div16 = 24$，$928\div16 = 58$，再除以$2$得$\frac{12}{29}\approx0.4138$。