题目
23.设两位化验员A，B独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法各做10次测定，其测定值的样本方差依次为s_(A)^2=0.5419，s_(B)^2=0.6065.设s_(A)^2，s_(B)^2分别为A，B所测定的测定值总体的方差.设总体均为正态的，且两样本独立.求方差比s_(A)^2/s_(B)^2的置信水平为0.95的置信区间
23.设两位化验员A，B独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法各做10次测定，其测定值的样本方差依次为$s_{A}^{2}=0.5419$，$s_{B}^{2}=0.6065$.设$s_{A}^{2}$，$s_{B}^{2}$分别为A，B所测定的测定值总体的方差.设总体均为正态的，且两样本独立.求方差比$s_{A}^{2}/s_{B}^{2}$的置信水平为0.95的置信区间
题目解答
答案
已知条件：
- $n_1 = n_2 = 10$，$s_A^2 = 0.5419$，$s_B^2 = 0.6065$
- 置信水平 $1 - \alpha = 0.95$，$\alpha/2 = 0.025$
- 查表得 $F_{0.025}(9,9) = 4.03$，$F_{0.975}(9,9) = \frac{1}{4.03} \approx 0.2481$
方差比 $\sigma_A^2 / \sigma_B^2$ 的置信区间为：
\[
\left( \frac{s_A^2}{s_B^2} \cdot \frac{1}{F_{0.025}(9,9)}, \frac{s_A^2}{s_B^2} \cdot \frac{1}{F_{0.975}(9,9)} \right)
\]
计算得：
\[
\frac{s_A^2}{s_B^2} = \frac{0.5419}{0.6065} \approx 0.8945
\]
\[
\text{下限} = 0.8945 \cdot 0.2481 \approx 0.2218
\]
\[
\text{上限} = 0.8945 \cdot 4.03 \approx 3.605
\]
**答案：**
\[
\boxed{(0.222, 3.609)}
\]
解析
步骤 1：确定样本大小和样本方差
- 样本大小：$n_1 = n_2 = 10$
- 样本方差：$s_A^2 = 0.5419$，$s_B^2 = 0.6065$
步骤 2：确定置信水平和自由度
- 置信水平：$1 - \alpha = 0.95$，$\alpha/2 = 0.025$
- 自由度：$df_1 = df_2 = n_1 - 1 = n_2 - 1 = 9$
步骤 3：查表得到F分布的临界值
- 查表得 $F_{0.025}(9,9) = 4.03$，$F_{0.975}(9,9) = \frac{1}{4.03} \approx 0.2481$
步骤 4：计算方差比的置信区间
- 方差比 $\sigma_A^2 / \sigma_B^2$ 的置信区间为： \[ \left( \frac{s_A^2}{s_B^2} \cdot \frac{1}{F_{0.025}(9,9)}, \frac{s_A^2}{s_B^2} \cdot \frac{1}{F_{0.975}(9,9)} \right) \]
- 计算方差比： \[ \frac{s_A^2}{s_B^2} = \frac{0.5419}{0.6065} \approx 0.8945 \]
- 计算置信区间的下限： \[ \text{下限} = 0.8945 \cdot 0.2481 \approx 0.2218 \]
- 计算置信区间的上限： \[ \text{上限} = 0.8945 \cdot 4.03 \approx 3.605 \]
- 样本大小：$n_1 = n_2 = 10$
- 样本方差：$s_A^2 = 0.5419$，$s_B^2 = 0.6065$
步骤 2：确定置信水平和自由度
- 置信水平：$1 - \alpha = 0.95$，$\alpha/2 = 0.025$
- 自由度：$df_1 = df_2 = n_1 - 1 = n_2 - 1 = 9$
步骤 3：查表得到F分布的临界值
- 查表得 $F_{0.025}(9,9) = 4.03$，$F_{0.975}(9,9) = \frac{1}{4.03} \approx 0.2481$
步骤 4：计算方差比的置信区间
- 方差比 $\sigma_A^2 / \sigma_B^2$ 的置信区间为： \[ \left( \frac{s_A^2}{s_B^2} \cdot \frac{1}{F_{0.025}(9,9)}, \frac{s_A^2}{s_B^2} \cdot \frac{1}{F_{0.975}(9,9)} \right) \]
- 计算方差比： \[ \frac{s_A^2}{s_B^2} = \frac{0.5419}{0.6065} \approx 0.8945 \]
- 计算置信区间的下限： \[ \text{下限} = 0.8945 \cdot 0.2481 \approx 0.2218 \]
- 计算置信区间的上限： \[ \text{上限} = 0.8945 \cdot 4.03 \approx 3.605 \]