题目
求证：梯形中位线平行于上底和下底且等于上底与下底和的一半.
求证：梯形中位线平行于上底和下底且等于上底与下底和的一半.
题目解答
答案
证明：如图为梯形ABCD，以线段BC的中点为原点，直线BC为x轴，建立如图所示的直角坐标系.
分别取AB，CD，AC的中点E，F，G，连接EG，GF.
设A(a，b)，C(c，0)，则B(-c，0).AB的中点E的坐标是(
，
)，AC的中点G的坐标是(
，),
所以EG=
=|c|，BC=2|c|，
所以EG=
BC.
又E，G的纵坐标相同，
所以EG//BC.
同理可证，FG=AD，FG//AD.
于是可得EF//AD//BC，
EF=EG+FG=(BC+AD).
而EF即为梯形的中位线，
故梯形中位线平行于上底和下底且等于上底和下底和的一半.
解析
步骤 1：建立坐标系
以梯形ABCD的下底BC的中点为原点，直线BC为x轴，建立直角坐标系。设A(a, b)，C(c, 0)，则B(-c, 0)。
步骤 2：确定中点坐标
分别取AB，CD，AC的中点E，F，G，连接EG，GF。AB的中点E的坐标是(a-c)/2，b/2，AC的中点G的坐标是(a+c)/2，b/2。
步骤 3：计算EG的长度
EG的长度可以通过计算E和G两点之间的距离得到。EG=$\sqrt {{(\dfrac {a-c}{2}-\dfrac {a+c}{2})}^{2}+{(\dfrac {b}{2}+\dfrac {b}{2})}^{2}}$=|c|，BC=2|c|，所以EG=$\dfrac {1}{2}$BC。
步骤 4：证明EG平行于BC
由于E，G的纵坐标相同，所以EG平行于BC。
步骤 5：证明FG平行于AD
同理可证，FG=$\dfrac {1}{2}$AD，FG平行于AD。
步骤 6：证明EF平行于AD和BC
于是可得EF平行于AD和BC，EF=EG+FG=$\dfrac {1}{2}$(BC+AD)。而EF即为梯形的中位线，故梯形中位线平行于上底和下底且等于上底和下底和的一半。
以梯形ABCD的下底BC的中点为原点，直线BC为x轴，建立直角坐标系。设A(a, b)，C(c, 0)，则B(-c, 0)。
步骤 2：确定中点坐标
分别取AB，CD，AC的中点E，F，G，连接EG，GF。AB的中点E的坐标是(a-c)/2，b/2，AC的中点G的坐标是(a+c)/2，b/2。
步骤 3：计算EG的长度
EG的长度可以通过计算E和G两点之间的距离得到。EG=$\sqrt {{(\dfrac {a-c}{2}-\dfrac {a+c}{2})}^{2}+{(\dfrac {b}{2}+\dfrac {b}{2})}^{2}}$=|c|，BC=2|c|，所以EG=$\dfrac {1}{2}$BC。
步骤 4：证明EG平行于BC
由于E，G的纵坐标相同，所以EG平行于BC。
步骤 5：证明FG平行于AD
同理可证，FG=$\dfrac {1}{2}$AD，FG平行于AD。
步骤 6：证明EF平行于AD和BC
于是可得EF平行于AD和BC，EF=EG+FG=$\dfrac {1}{2}$(BC+AD)。而EF即为梯形的中位线，故梯形中位线平行于上底和下底且等于上底和下底和的一半。