5.单选题 设事件A和B，则P(A)=P(B)的充分必要条件是( )A. P(Acup B)=P(A)+P(B)B. P(AB)=P(A)P(B)C. P(Aoverline(B))=P(Boverline(A))D. P(AB)=P(overline(AB))

考查要点：本题主要考查概率论中事件概率相等的充要条件，涉及事件的分解与概率关系的推导。

解题核心思路：
通过分析各选项与$P(A)=P(B)$之间的逻辑关系，判断是否存在充分必要条件。关键在于将选项中的概率表达式转化为与$P(A)$和$P(B)$直接相关的等式，并验证其等价性。

破题关键点：

• 选项C通过事件分解，直接关联$P(A)$和$P(B)$的差值，是唯一能推出且被$P(A)=P(B)$推出的条件。
• 其他选项（如独立性、互斥性等）与概率相等无必然联系。

选项分析

选项A

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

• 成立条件：$A$和$B$互斥（即$P(AB)=0$）。
• 反例：若$P(A)=0.2$，$P(B)=0.3$且互斥，等式成立但$P(A) \neq P(B)$。
• 结论：与$P(A)=P(B)$无关，排除。

选项B

$P(AB) = P(A)P(B)$

• 含义：$A$和$B$独立。
• 反例：若$P(A)=0.3$，$P(B)=0.5$且独立，等式成立但$P(A) \neq P(B)$。
• 结论：独立性与概率相等无关，排除。

选项C

$P(A\overline{B}) = P(B\overline{A})$

• 推导：
  1. 分解概率：
     $P(A) = P(A\overline{B}) + P(AB), \quad P(B) = P(B\overline{A}) + P(AB)$
  2. 若$P(A)=P(B)$，则$P(A\overline{B}) = P(B\overline{A})$。
  3. 反之，若$P(A\overline{B}) = P(B\overline{A})$，则$P(A)=P(B)$。
• 结论：充要条件，正确。

选项D

$P(AB) = P(\overline{AB})$

• 变形：$P(AB) = 1 - P(AB)$，即$P(AB)=\frac{1}{2}$。
• 反例：$P(AB)=0.5$可能与$P(A)$和$P(B)$无关（如$A$和$B$非独立）。
• 结论：与$P(A)=P(B)$无关，排除。