题目
11.设总体X的概率密度为 f(x)= ) (theta +1)((x-5))^theta 0, . lt xlt 6(theta gt 0),-|||-其中θ是未知-|||-其他,-|||-参数.X1,X2,···,Xn是总体X的简单样本,分别求θ的矩估计和极大似然估计.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求解总体X的期望EX
根据概率密度函数$f(x)$，计算总体X的期望EX。由于$f(x)$在$5$$
EX = \int_{5}^{6} x \cdot (\theta+1)(x-5)^{\theta} dx
$$
步骤 2：计算EX的积分
将积分公式展开，计算EX的值。首先，使用分部积分法计算积分：
$$
EX = -\int_{5}^{6} x d(x-5)^{\theta+1} = -6\int_{5}^{6} (x-5)^{\theta+1} dx = -6 - \frac{1}{\theta+2}
$$
步骤 3：求解矩估计量
令$EX = \overline{X}$，其中$\overline{X}$为样本均值。根据步骤2的计算结果，可以得到矩估计量$\hat{\theta}$的表达式：
$$
\hat{\theta} = \frac{1}{6 - \overline{X}} - 2
$$
步骤 4：求解极大似然估计量
首先，写出似然函数$L(\theta)$，然后对$L(\theta)$取对数得到对数似然函数$\ln L(\theta)$。接着，对$\ln L(\theta)$求导，令导数等于0，解出$\theta$的极大似然估计量$\hat{\theta}$。似然函数为：
$$
L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i, \theta) = (\theta+1)^n \prod_{i=1}^{n} (x_i-5)^{\theta}
$$
对数似然函数为：
$$
\ln L(\theta) = n \ln (\theta+1) + \theta \sum_{i=1}^{n} \ln (x_i-5)
$$
对$\ln L(\theta)$求导，令导数等于0，解出$\theta$的极大似然估计量$\hat{\theta}$：
$$
\frac{d \ln L(\theta)}{d \theta} = \frac{n}{\theta+1} + \sum_{i=1}^{n} \ln (x_i-5) = 0
$$
$$
\hat{\theta} = -\frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \ln (x_i-5)} - 1
$$
根据概率密度函数$f(x)$，计算总体X的期望EX。由于$f(x)$在$5
EX = \int_{5}^{6} x \cdot (\theta+1)(x-5)^{\theta} dx
$$
步骤 2：计算EX的积分
将积分公式展开，计算EX的值。首先，使用分部积分法计算积分：
$$
EX = -\int_{5}^{6} x d(x-5)^{\theta+1} = -6\int_{5}^{6} (x-5)^{\theta+1} dx = -6 - \frac{1}{\theta+2}
$$
步骤 3：求解矩估计量
令$EX = \overline{X}$，其中$\overline{X}$为样本均值。根据步骤2的计算结果，可以得到矩估计量$\hat{\theta}$的表达式：
$$
\hat{\theta} = \frac{1}{6 - \overline{X}} - 2
$$
步骤 4：求解极大似然估计量
首先，写出似然函数$L(\theta)$，然后对$L(\theta)$取对数得到对数似然函数$\ln L(\theta)$。接着，对$\ln L(\theta)$求导，令导数等于0，解出$\theta$的极大似然估计量$\hat{\theta}$。似然函数为：
$$
L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i, \theta) = (\theta+1)^n \prod_{i=1}^{n} (x_i-5)^{\theta}
$$
对数似然函数为：
$$
\ln L(\theta) = n \ln (\theta+1) + \theta \sum_{i=1}^{n} \ln (x_i-5)
$$
对$\ln L(\theta)$求导，令导数等于0，解出$\theta$的极大似然估计量$\hat{\theta}$：
$$
\frac{d \ln L(\theta)}{d \theta} = \frac{n}{\theta+1} + \sum_{i=1}^{n} \ln (x_i-5) = 0
$$
$$
\hat{\theta} = -\frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \ln (x_i-5)} - 1
$$