设随机变量X_1,...,X_n相互独立，且X_i都服从参数为0.5的指数分布，则当n充分大时，随机变量Z_n=(1)/(n)sum_(i=1)^n X_i近似服从A. N(2,4)B. N(2,(4)/(n))C. N((1)/(2),(4)/(n))D. N(2n,4n)

考查要点：本题主要考查中心极限定理的应用，以及指数分布的期望与方差计算。

解题核心思路：

1. 确定指数分布参数：题目中指数分布的参数为0.5，需明确其对应的是速率参数λ，从而计算出期望和方差。
2. 应用中心极限定理：当n充分大时，独立同分布的随机变量的样本均值近似服从正态分布，其均值为总体均值，方差为总体方差除以n。

破题关键点：

• 指数分布的期望与方差：若$X \sim E(\lambda)$，则$E(X) = \frac{1}{\lambda}$，$D(X) = \frac{1}{\lambda^2}$。
• 样本均值的分布：$\frac{1}{n}\sum X_i$的期望为总体均值，方差为$\frac{\text{总体方差}}{n}$。

步骤1：计算单个随机变量的期望与方差

已知$X_i \sim E(0.5)$，其中参数0.5是速率参数$\lambda$，因此：

• 期望：$E(X_i) = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{0.5} = 2$，
• 方差：$D(X_i) = \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{0.5^2} = 4$。

步骤2：应用中心极限定理

当$n$充分大时，样本均值$Z_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$近似服从正态分布：

• 均值：$E(Z_n) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot 2 = 2$，
• 方差：$D(Z_n) = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n D(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot 4 = \frac{4}{n}$。

因此，$Z_n$近似服从$N\left(2, \frac{4}{n}\right)$，对应选项B。