2023.2.设函数f(x)=}cos x+xsin(1)/(x),xA. 无穷间断点B. 可去间断点C. 跳跃间断点D. 连续点

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的连续性判断，需要计算左右极限并比较其与函数值的关系。

解题核心思路：

1. 判断连续性：需验证三个条件：函数在$x=0$处有定义，左极限和右极限存在且相等，且极限值等于函数值。
2. 计算左极限：当$x \to 0^-$时，$f(x) = \cos x + x \sin \frac{1}{x}$，需分别计算$\cos x$和$x \sin \frac{1}{x}$的极限。
3. 计算右极限：当$x \to 0^+$时，$f(x) = x^3 + 1$，直接代入$x=0$即可。
4. 比较极限与函数值：若左右极限相等且等于$f(0)$，则连续。

破题关键点：

• 夹逼定理的应用：对于$x \sin \frac{1}{x}$，利用$|x \sin \frac{1}{x}| \leq |x|$，当$x \to 0$时，该部分极限为$0$。
• 分段函数的分段点处理：明确左右极限的计算方式，避免混淆不同区间的表达式。

计算左极限（$x \to 0^-$）

当$x < 0$时，$f(x) = \cos x + x \sin \frac{1}{x}$：

1. $\cos x$的极限：$\lim_{x \to 0^-} \cos x = \cos 0 = 1$。
2. $x \sin \frac{1}{x}$的极限：
   • 由于$|\sin \frac{1}{x}| \leq 1$，故$|x \sin \frac{1}{x}| \leq |x|$。
   • 当$x \to 0^-$时，$|x| \to 0$，根据夹逼定理，$\lim_{x \to 0^-} x \sin \frac{1}{x} = 0$。
3. 左极限结果：$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 1 + 0 = 1$。

计算右极限（$x \to 0^+$）

当$x \geq 0$时，$f(x) = x^3 + 1$：

• $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0^3 + 1 = 1$。

比较函数值

• $f(0) = 0^3 + 1 = 1$。

结论

左右极限均为$1$，且等于$f(0)$，因此$f(x)$在$x=0$处连续。