题目

37.设随机变量X的分布律为PX=k=(k)/(15),k=1,2,3,4,5，则PX>3=_____.

37.设随机变量X的分布律为$P\{X=k\}=\frac{k}{15},k=1,2,3,4,5$，则$P\{X>3\}=$_____.

题目解答

答案

根据分布律 $P\{X = k\} = \frac{k}{15}$（$k = 1, 2, 3, 4, 5$），求 $P\{X > 3\}$ 即 $P\{X = 4\} + P\{X = 5\}$： \[ P\{X = 4\} = \frac{4}{15}, \quad P\{X = 5\} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \] 相加得： \[ P\{X > 3\} = \frac{4}{15} + \frac{1}{3} = \frac{4}{15} + \frac{5}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = 0.6 \] 或使用补集规则： \[ P\{X > 3\} = 1 - P\{X \leq 3\} = 1 - \left(\frac{1}{15} + \frac{2}{15} + \frac{3}{15}\right) = 1 - \frac{6}{15} = \frac{9}{15} = 0.6 \] 答案：$\boxed{0.6}$

解析

本题考查离散型随机变量分布律的概率计算。解题思路是根据离散型随机变量分布律的性质，要求$P\{X\gt3\}$，可以通过直接计算$X = 4$和$X = 5$时的概率之和得到，也可以利用补集思想，用$1$减去$P\{X\leq3\}$来计算。

方法一：直接计算

已知随机变量$X$的分布律为$P\{X = k\} = \frac{k}{15}$，$k = 1, 2, 3, 4, 5$。
因为$\{X\gt3\}=\{X = 4\}\cup\{X = 5\}$，且$\{X = 4\}$与$\{X = 5\}$是互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$，可得：
$P\{X\gt3\}=P\{X = 4\}+P\{X = 5\}$
将$k = 4$和$k = 5$代入分布律公式$P\{X = k\} = \frac{k}{15}$中：
$P\{X = 4\} = \frac{4}{15}$
$P\{X = 5\} = \frac{5}{15}=\frac{1}{3}$
则$P\{X\gt3\}=\frac{4}{15}+\frac{1}{3}$
为了进行加法运算，将$\frac{1}{3}$通分，$\frac{1}{3}=\frac{1\times5}{3\times5}=\frac{5}{15}$，所以$P\{X\gt3\}=\frac{4}{15}+\frac{5}{15}=\frac{4 + 5}{15}=\frac{9}{15}$
对$\frac{9}{15}$进行约分，分子分母同时除以$3$，可得$\frac{9\div3}{15\div3}=\frac{3}{5}=0.6$

方法二：利用补集计算

因为$\{X\gt3\}$的对立事件是$\{X\leq3\}$，根据对立事件的概率性质$P(A)=1 - P(\overline{A})$，可得$P\{X\gt3\}=1 - P\{X\leq3\}$。
又因为$\{X\leq3\}=\{X = 1\}\cup\{X = 2\}\cup\{X = 3\}$，且$\{X = 1\}$、$\{X = 2\}$、$\{X = 3\}$两两互斥，所以$P\{X\leq3\}=P\{X = 1\}+P\{X = 2\}+P\{X = 3\}$。
将$k = 1$、$k = 2$、$k = 3$代入分布律公式$P\{X = k\} = \frac{k}{15}$中：
$P\{X = 1\} = \frac{1}{15}$
$P\{X = 2\} = \frac{2}{15}$
$P\{X = 3\} = \frac{3}{15}$
则$P\{X\leq3\}=\frac{1}{15}+\frac{2}{15}+\frac{3}{15}=\frac{1 + 2 + 3}{15}=\frac{6}{15}$
所以$P\{X\gt3\}=1 - \frac{6}{15}=\frac{15}{15}-\frac{6}{15}=\frac{15 - 6}{15}=\frac{9}{15}=0.6$