题目
4.均值为μ，方差为σ²>0的独立同分布的随机变量X₁,X₂,…,Xₙ的算术平均overline(X)=(1)/(n)sum_(k=1)^nX_(k)，当n充分大时近似地服从均值为μ，方差为σ²的正态分布.
4.均值为μ，方差为σ²>0的独立同分布的随机变量X₁,X₂,…,Xₙ的算术平均
$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}X_{k}$，当n充分大时近似地服从均值为μ，方差为σ²的正态分布.
题目解答
答案
根据中心极限定理，当 $n$ 充分大时，独立同分布的随机变量 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 的算术平均 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} X_k$ 近似服从正态分布。计算得：
- 均值：$E[\overline{X}] = \mu$
- 方差：$\text{Var}(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$
因此，$\overline{X}$ 近似服从 $N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，方差为 $\frac{\sigma^2}{n}$，而非 $\sigma^2$。题目描述错误。
\[
\boxed{\text{错误}}
\]
解析
考查要点：本题主要考查中心极限定理的应用，特别是对样本均值分布的理解。
解题核心：
- 样本均值的期望与原分布均值相同；
- 样本均值的方差为原方差除以样本量$n$；
- 中心极限定理指出，当$n$充分大时，样本均值近似服从正态分布。
关键点：题目错误在于混淆了原分布方差$\sigma^2$与样本均值方差$\frac{\sigma^2}{n}$。
步骤1：计算样本均值的期望
由独立同分布随机变量的性质：
$E[\overline{X}] = E\left[\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} X_k\right] = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} E[X_k] = \frac{1}{n} \cdot n\mu = \mu.$
步骤2：计算样本均值的方差
由于$X_k$独立，方差具有可加性：
$\text{Var}(\overline{X}) = \text{Var}\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} X_k\right) = \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} \text{Var}(X_k) = \frac{1}{n^2} \cdot n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}.$
步骤3：应用中心极限定理
当$n$充分大时，$\overline{X}$近似服从正态分布：
$\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right).$
题目中将方差误写为$\sigma^2$，因此结论错误。