已知某种电子元件的寿命服从均值 100 小时的指数分布,随机抽取 25 只,其寿命相互独立,利用中心极限定理求:25 只元件寿命总和大于 2820 小时的概率 ( 结果可用标准正态分布的分布函数ei表示 )

步骤 1：确定单个元件寿命的期望值和方差
由于元件的寿命服从均值为 100 小时的指数分布，因此单个元件的期望值 $E(X_i) = 100$ 小时，方差 $D(X_i) = 100^2 = 10000$ 小时^2。

步骤 2：计算25只元件寿命总和的期望值和方差
由于25只元件寿命相互独立，因此25只元件寿命总和的期望值为 $E(\sum_{i=1}^{25} X_i) = 25 \times 100 = 2500$ 小时，方差为 $D(\sum_{i=1}^{25} X_i) = 25 \times 10000 = 250000$ 小时^2。

步骤 3：利用中心极限定理求概率
根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。因此，25只元件寿命总和的分布近似于正态分布 $N(2500, 250000)$。我们需要求的是25只元件寿命总和大于2820小时的概率，即 $P(\sum_{i=1}^{25} X_i > 2820)$。将这个概率转化为标准正态分布的概率，我们有：
$$
P\left(\sum_{i=1}^{25} X_i > 2820\right) = P\left(\frac{\sum_{i=1}^{25} X_i - 2500}{\sqrt{250000}} > \frac{2820 - 2500}{\sqrt{250000}}\right) = P\left(Z > \frac{320}{500}\right) = P(Z > 0.64)
$$
其中 $Z$ 是标准正态分布的随机变量。根据标准正态分布的分布函数 $\Phi(z)$，我们有 $P(Z > 0.64) = 1 - \Phi(0.64)$。