题目

设X1,X2,···X16为来自总体 sim N(2,(sigma )^2)设X1,X2,···X16为来自总体 sim N(2,(sigma )^2)（）设X1,X2,···X16为来自总体 sim N(2,(sigma )^2)设X1,X2,···X16为来自总体 sim N(2,(sigma )^2)设X1,X2,···X16为来自总体 sim N(2,(sigma )^2)设X1,X2,···X16为来自总体 sim N(2,(sigma )^2)

$设 X _ 1 , X _ 2 , \dots X _ {16} 为来自总体 X \sim N ( 2 , \sigma ^ 2 )$ $的样本，\bar{X}=\frac{1}{16}\sum^{16}_{i=1}X_i,则\frac{4(\bar{X}-2)}{\sigma}服从$

（）

$A.t(16)$

$B.t(15)$

$C.\chi^2(15)$

$D.N(0,1)$

题目解答

答案

解：∵ $X_1,X_2,\dots X_{16}为来自总体X\sim N(2,\sigma^2)$

∴ $E(\overline{X})=E(\frac{1}{16}\sum_{i=1}^{16}X_i)=\frac{1}{16}E(\sum_{i=1}^{16}X_i)=2$

$D(\overline{X})=D(\frac{1}{16}\sum_{i=1}^{16}X_i)=\frac{1}{16^2}D(\sum_{i=1}^{16}X_i)=\frac{\sigma^2}{16}$

∴ $\bar X\sim N(2,\frac{\sigma^2}{16})$ ,那么 $\frac{\overline{X}-2}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{16}}}=\frac{4(\overline{X}-2)}{\sigma}\sim N(0,1)$ ,故本题选择D选项。

解析

步骤 1：确定样本均值的分布
由于X1,X2,···X16为来自总体 $X\sim N(2,{\sigma }^{2})$的样本，根据中心极限定理，样本均值$\overline {X}$的分布为$N(2,\dfrac {{\sigma }^{2}}{16})$。这是因为样本均值的期望值等于总体均值，即$E(\overline {X})=2$，而样本均值的方差等于总体方差除以样本量，即$D(\overline {X})=\dfrac {{\sigma }^{2}}{16}$。

步骤 2：标准化样本均值
为了将样本均值$\overline {X}$标准化，我们使用公式$\dfrac {\overline {X}-E(\overline {X})}{\sqrt {D(\overline {X})}}$。将$E(\overline {X})=2$和$D(\overline {X})=\dfrac {{\sigma }^{2}}{16}$代入，得到$\dfrac {\overline {X}-2}{\sqrt {\dfrac {{\sigma }^{2}}{16}}}=\dfrac {4(\overline {X}-2)}{\sigma }$。这个标准化后的变量服从标准正态分布$N(0,1)$。

步骤 3：确定选项
根据步骤2的标准化结果，$\dfrac {4(\overline {X}-2)}{\sigma }$服从标准正态分布$N(0,1)$。因此，正确答案是D选项。