题目
(13)从总体 sim N((80,20)^2) 中抽取容量为100的样本,求样本均值与总体均值之差-|||-的绝对值大于3的概率.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定样本均值的分布
样本均值 $\bar{X}$ 的分布为 $N(\mu, \sigma^2/n)$，其中 $\mu$ 是总体均值，$\sigma^2$ 是总体方差，$n$ 是样本容量。对于本题，$\mu = 80$，$\sigma^2 = 20^2 = 400$，$n = 100$。因此，样本均值 $\bar{X}$ 的分布为 $N(80, 400/100) = N(80, 4)$。
步骤 2：计算样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率
样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率可以表示为 $P(|\bar{X} - 80| > 3)$。由于 $\bar{X}$ 的分布为 $N(80, 4)$，我们可以将问题转化为标准正态分布的问题。首先，计算标准差 $\sigma_{\bar{X}} = \sqrt{4} = 2$。然后，将问题转化为 $P(|Z| > 3/2)$，其中 $Z$ 是标准正态分布的随机变量。这可以进一步分解为 $P(Z > 1.5) + P(Z < -1.5)$。
步骤 3：使用标准正态分布表计算概率
根据标准正态分布表，$P(Z > 1.5) = 1 - P(Z \leq 1.5) = 1 - 0.9332 = 0.0668$，$P(Z < -1.5) = P(Z > 1.5) = 0.0668$。因此，$P(|Z| > 1.5) = 0.0668 + 0.0668 = 0.1336$。
样本均值 $\bar{X}$ 的分布为 $N(\mu, \sigma^2/n)$，其中 $\mu$ 是总体均值，$\sigma^2$ 是总体方差，$n$ 是样本容量。对于本题，$\mu = 80$，$\sigma^2 = 20^2 = 400$，$n = 100$。因此，样本均值 $\bar{X}$ 的分布为 $N(80, 400/100) = N(80, 4)$。
步骤 2：计算样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率
样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率可以表示为 $P(|\bar{X} - 80| > 3)$。由于 $\bar{X}$ 的分布为 $N(80, 4)$，我们可以将问题转化为标准正态分布的问题。首先，计算标准差 $\sigma_{\bar{X}} = \sqrt{4} = 2$。然后，将问题转化为 $P(|Z| > 3/2)$，其中 $Z$ 是标准正态分布的随机变量。这可以进一步分解为 $P(Z > 1.5) + P(Z < -1.5)$。
步骤 3：使用标准正态分布表计算概率
根据标准正态分布表，$P(Z > 1.5) = 1 - P(Z \leq 1.5) = 1 - 0.9332 = 0.0668$，$P(Z < -1.5) = P(Z > 1.5) = 0.0668$。因此，$P(|Z| > 1.5) = 0.0668 + 0.0668 = 0.1336$。