题目
3.有一种电子元件，要求其使用寿命不得低于1000h。已知这种元件的使用寿命服从标准差为100h的正态分布。现从一批元件中随机抽查了25件，测得平均使用寿命为972h。试在0.05的显著性水平下，检验这批电子元件是否合格。(显著性alpha=0.05 单侧检验Z_(alpha)=pm1.645)
3.有一种电子元件，要求其使用寿命不得低于1000h。已知这种元件的使用寿命服从标准差为100h的正态分布。现从一批元件中随机抽查了25件，测得平均使用寿命为972h。试在0.05的显著性水平下，检验这批电子元件是否合格。
(显著性$\alpha=0.05$ 单侧检验$Z_{\alpha}=\pm1.645$)
题目解答
答案
**解：**
1. **建立假设：**
$H_0: \mu \geq 1000$（元件合格），$H_1: \mu < 1000$（元件不合格）。
2. **计算检验统计量：**
\[
Z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{972 - 1000}{100 / \sqrt{25}} = -1.4
\]
3. **确定临界值：**
显著性水平 $\alpha = 0.05$，单侧检验临界值 $-Z_{0.05} = -1.645$。
4. **比较统计量与临界值：**
$Z = -1.4 > -1.645$，未落入拒绝域。
5. **结论：**
不能拒绝 $H_0$，即认为元件合格。
**答案：**
在 0.05 的显著性水平下，认为这批电子元件是合格的。
解析
本题考察正态分布下的单侧假设检验知识，具体为均值的显著性检验，解题思路如下：
步骤1：明确明确问题与假设
题目要求检验元件平均使用寿命是否不低于1000h（合格，属于左侧单侧检验（因关心是否低于1000h）：
- 原假设 $H_0: \mu \mu \geq 1000$（元件合格，待检验的默认结论）
- 备择假设 $H_1: \ \mu < 1000$（元件不合格，拒绝原假设的结论）
步骤2：计算检验统计量
已知总体服从正态分布，标准差 $\sigma=100$（已知），样本量 $n=25$，样本均值 $\overline{X}=972$。
由于总体标准差已知，使用Z检验统计量：
$公式\[
\[
Z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{972 - 1000}{100/\sqrt{25}} = \frac{-28}{20} = -1.4
\}$
步骤3：确定临界值与拒绝域
显著性水平 $\alpha=0.05$，单侧检验为左侧单侧，临界值为 $-Z_{\alpha}=-1.645$（对应左侧5%分位数）。
拒绝域为 $Z < -1.645$。
步骤4：比较与结论
计算得 $Z=-1.4 > -1.645$，未落入拒绝域，因此不能拒绝原假设 $H_0$，即认为元件合格。