单选题 4.0分 难度：简单 函数y=cos^33x的微分dy=A. -9sin3xcos^23xdxB. -9sin3xcos^23xC. -9sin^23xcos3xD. -9sin^23xcos3xdx

考查要点：本题主要考查复合函数的微分计算，涉及链式法则的应用以及微分形式的正确表达。

解题核心思路：

1. 链式法则：对复合函数逐层求导，外层函数导数乘以内层函数导数。
2. 微分形式：导数结果需乘以微分$dx$，确保最终形式正确。

破题关键点：

• 识别复合结构：$y = [\cos(3x)]^3$，外层为三次方，内层为余弦函数，最内层为线性函数$3x$。
• 逐层求导：外层导数为$3\cos^2(3x)$，内层导数为$-\sin(3x)$，最内层导数为$3$。
• 系数计算：注意系数相乘时符号和数值的准确性，避免遗漏。

步骤1：求导数$\frac{dy}{dx}$
函数$y = \cos^3(3x)$可分解为：

• 外层函数：$u^3$，其中$u = \cos(3x)$，导数为$3u^2 = 3\cos^2(3x)$。
• 中层函数：$\cos(v)$，其中$v = 3x$，导数为$-\sin(v) = -\sin(3x)$。
• 最内层函数：$v = 3x$，导数为$3$。

根据链式法则，整体导数为：
$\frac{dy}{dx} = 3\cos^2(3x) \cdot (-\sin(3x)) \cdot 3 = -9\cos^2(3x)\sin(3x).$

步骤2：计算微分$dy$
微分形式为：
$dy = \frac{dy}{dx} \, dx = -9\cos^2(3x)\sin(3x) \, dx.$

选项分析：

• 选项A：$-9\sin3x\cos^{2}3xdx$，与计算结果一致。
• 选项B：缺少$dx$，错误。
• 选项C、D：$\sin$的幂次错误（应为一次方），错误。