9. (5.0分) 8.下列关系式错误的是（）A Ln(z_(1)z_(2))=Lnz_(1)+Lnz_(2)B e^lnz=zC e^lnz=zD ln(z_(1)z_(2))=lnz_(1)+lnz_(2)

本题主要考查复数对数函数的性质及相关运算规则。解题的关键在于明确复数对数函数主值与多值的区别，并根据其定义和性质来判断各个关系式是否成立。

选项A

根据复数对数函数的定义，对于复数 $z$，其对数函数 $Ln z=\ln|z| + i(\arg(z) + 2k\pi)$，其中 $k\in Z$。
对于 $Ln(z_1 z_2)$，有：
$Ln(z_1 z_2)=\ln|z_1 z_2| + i(\arg(z_1 z_2) + 2k\pi)$
根据复数模和辐角的性质，$|z_1 z_2| = |z_1|\times|z_2|$，$\arg(z_1 z_2)=\arg(z_1) + \arg(z_2)$，所以：
$Ln(z_1 z_2)=\ln(|z_1|\times|z_2|) + i(\arg(z_1) + \arg(z_2) + 2k\pi)$
由对数运算法则 $\ln(ab)=\ln a+\ln b$，可得：
$Ln(z_1 z_2)=\ln|z_1| + \ln|z_2| + i(\arg(z_1) + \arg(z_2) + 2k\pi)$
而 $Ln z_1 + Ln z_2 = \ln|z_1| + i(\arg(z_1) + 2m\pi) + \ln|z_2| + i(\arg(z_2) + 2n\pi)$（$m,n\in Z$）
$Ln z_1 + Ln z_2 = \ln|z_1| + \ln|z_2| + i(\arg(z_1) + \arg(z_2) + 2(m + n)\pi)$
令 $k = m + n$，则 $Ln(z_1 z_2)=Ln z_1 + Ln z_2$，所以选项A正确。

选项B

对于 $e^{Ln z}$，因为 $Ln z=\ln|z| + i(\arg(z) + 2k\pi)$，所以：
$e^{Ln z}=e^{\ln|z| + i(\arg(z) + 2k\pi)}$
根据指数运算法则 $e^{a + b}=e^a\times e^b$，可得：
$e^{Ln z}=e^{\ln|z|}\times e^{i(\arg(z) + 2k\pi)}$
由对数与指数的关系 $e^{\ln a}=a$，可得 $e^{\ln|z|}=|z|$，又因为 $e^{i\theta}$ 的周期性，$e^{i(\arg(z) + 2k\pi)} = e^{i\arg(z)}$，所以：
$e^{Ln z}=|z|e^{i\arg(z)} = z$
所以选项B正确。

选项C

这里的 $ln z$ 表示复数对数的主值，即 $ln z=\ln|z| + i\arg(z)$，其中 $\arg(z)\in(-\pi, \pi]$。
则 $e^{ln z}=e^{\ln|z| + i\arg(z)}$
同样根据指数运算法则 $e^{a + b}=e^a\times e^b$，可得：
$e^{ln z}=e^{\ln|z|}\times e^{i\arg(z)}$
因为 $e^{\ln|z|}=|z|$，所以：
$e^{ln z}=|z|e^{i\arg(z)} = z$
所以选项C正确。

选项D

$ln(z_1 z_2)=\ln|z_1 z_2| + i\arg(z_1 z_2)=\ln(|z_1|\times|z_2|) + i(\arg(z_1) + \arg(z_2))$
$ln z_1 + ln z_2 = \ln|z_1| + i\arg(z_1) + \ln|z_2| + i\arg(z_2)=\ln|z_1| + \ln|z_2| + i(\arg(z_1) + \arg(z_2))$
虽然 $\ln|z_1 z_2|=\ln|z_1| + \ln|z_2|$，但辐角主值 $\arg(z)$ 的取值范围是 $(-\pi, \pi]$，$\arg(z_1) + \arg(z_2)$ 不一定在 $(-\pi, \pi]$ 内，当 $\arg(z_1) + \arg(z_2)$ 不在 $(-\pi, \pi]$ 内时，$ln(z_1 z_2)\neq ln z_1 + ln z_2$，所以选项D错误。