题目

随机过程 X(t) = A cos omega t + B sin omega t，其中 omega 为常数，A 和 B 是两个相互独立的高斯变量，且有 E[A] = E[B] = 0，E[A^2] = E[B^2] = sigma^2。试求 X(t) 的数学期望和自相关函数，并判断该过程的广义平稳性。

随机过程 $X(t) = A \cos \omega t + B \sin \omega t$，其中 $\omega$ 为常数，$A$ 和 $B$ 是两个相互独立的高斯变量，且有 $E[A] = E[B] = 0$，$E[A^2] = E[B^2] = \sigma^2$。试求 $X(t)$ 的数学期望和自相关函数，并判断该过程的广义平稳性。

题目解答

答案

  1. 数学期望
    由 $X(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)$，且 $E[A] = E[B] = 0$，得
    $E[X(t)] = E[A] \cos(\omega t) + E[B] \sin(\omega t) = 0.$

  2. 自相关函数
    计算 $R_X(t_1, t_2) = E[X(t_1)X(t_2)]$，展开并利用 $E[A^2] = E[B^2] = \sigma^2$、$E[AB] = 0$，得
    $R_X(t_1, t_2) = \sigma^2 \left[ \cos(\omega t_1) \cos(\omega t_2) + \sin(\omega t_1) \sin(\omega t_2) \right] = \sigma^2 \cos[\omega (t_1 - t_2)].$

  3. 广义平稳性
    数学期望为常数，自相关函数仅与时间差 $\tau = t_1 - t_2$ 有关，满足广义平稳条件。

答案：
$\boxed{\begin{array}{ccc}\text{数学期望} & E[X(t)] = 0 \\\text{自相关函数} & R_X(t_1, t_2) = \sigma^2 \cos[\omega (t_1 - t_2)] \\\text{广义平稳性} & \text{是} \\\end{array}}$