题目
已知a，b，m，n均为正数，且a+b=1，mn=2，则（am+bn）（bm+an）的最小值为 ____ ．
已知a，b，m，n均为正数，且a+b=1，mn=2，则（am+bn）（bm+an）的最小值为 ____ ．
题目解答
答案
解：根据二维形式的柯西不等式的代数形式：
（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2
可得（am+bn）（bm+an）≥（$\sqrt{am}•\sqrt{an}$+$\sqrt{bn}•\sqrt{bm}$）2
=mn（a+b）2
=2×1=2，当且仅当$\frac{am}{an}=\frac{bn}{bm}$即m=n时，取得最小值2．
故答案为：2．
（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2
可得（am+bn）（bm+an）≥（$\sqrt{am}•\sqrt{an}$+$\sqrt{bn}•\sqrt{bm}$）2
=mn（a+b）2
=2×1=2，当且仅当$\frac{am}{an}=\frac{bn}{bm}$即m=n时，取得最小值2．
故答案为：2．
解析
步骤 1：应用柯西不等式
根据二维形式的柯西不等式的代数形式：（a^{2}+b^{2}）（c^{2}+d^{2}）≥（ac+bd）^{2}，我们可以将（am+bn）（bm+an）转化为柯西不等式的形式。
步骤 2：将（am+bn）（bm+an）转化为柯西不等式的形式
（am+bn）（bm+an）≥（$\sqrt{am}•\sqrt{an}$+$\sqrt{bn}•\sqrt{bm}$）^{2}，这里我们使用了柯西不等式。
步骤 3：计算最小值
由于mn=2，a+b=1，代入上式，得到（am+bn）（bm+an）≥2×1=2，当且仅当$\frac{am}{an}=\frac{bn}{bm}$即m=n时，取得最小值2。
根据二维形式的柯西不等式的代数形式：（a^{2}+b^{2}）（c^{2}+d^{2}）≥（ac+bd）^{2}，我们可以将（am+bn）（bm+an）转化为柯西不等式的形式。
步骤 2：将（am+bn）（bm+an）转化为柯西不等式的形式
（am+bn）（bm+an）≥（$\sqrt{am}•\sqrt{an}$+$\sqrt{bn}•\sqrt{bm}$）^{2}，这里我们使用了柯西不等式。
步骤 3：计算最小值
由于mn=2，a+b=1，代入上式，得到（am+bn）（bm+an）≥2×1=2，当且仅当$\frac{am}{an}=\frac{bn}{bm}$即m=n时，取得最小值2。