题目

1、设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2分钟到达的顾客不超过3人的概率。

1、设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2分钟到达的顾客不超过3人 的概率。

题目解答

答案

设顾客到达速率为 $ \lambda = 2 $ 人/分钟，2分钟内平均到达人数为 $ \lambda' = 2 \times 2 = 4 $ 人。 泊松分布概率质量函数为 $ P(X = k) = \frac{\lambda'^k e^{-\lambda'}}{k!} $。 求 $ P(X \leq 3) $： \[ P(X \leq 3) = \sum_{k=0}^{3} \frac{4^k e^{-4}}{k!} = e^{-4} \left(1 + 4 + 8 + \frac{32}{3}\right) = \frac{71}{3} e^{-4} \] 近似值约为0.43347。 答案： \[ \boxed{\frac{71}{3} e^{-4}} \] 或近似值 \[ \boxed{0.43347} \]

解析

本题考查泊松分布的概率计算。解题思路如下：

  1. 首先明确泊松流的性质，已知顾客到达速率为 $\lambda = 2$ 人/分钟，要求 2 分钟内到达顾客不超过 3 人的概率。根据泊松分布的性质，在时间 $t$ 内的平均到达人数 $\lambda'=\lambda t$，由此可计算出 2 分钟内的平均到达人数。
  2. 然后根据泊松分布的概率质量函数 $P(X = k)=\frac{\lambda'^{k}e^{-\lambda'}}{k!}$，其中 $X$ 表示在给定时间内到达的顾客人数，$k$ 表示具体的顾客人数，$\lambda'$ 是平均到达人数。要求 $P(X\leq3)$，则需要计算 $k = 0,1,2,3$ 时的概率之和，即 $P(X\leq3)=\sum_{k = 0}^{3}P(X = k)=\sum_{k = 0}^{3}\frac{\lambda'^{k}e^{-\lambda'}}{k!}$。
  3. 最后将 $\lambda' = 4$ 代入上式进行计算：
    • 当 $k = 0$ 时，$P(X = 0)=\frac{4^{0}e^{-4}}{0!}=e^{-4}$。
    • 当 $k = 1$ 时，$P(X = 1)=\frac{4^{1}e^{-4}}{1!}=4e^{-4}$。
    • 当 $k = 2$ 时，$P(X = 2)=\frac{4^{2}e^{-4}}{2!}=\frac{16e^{-4}}{2}=8e^{-4}$。
    • 当 $k = 3$ 时，$P(X = 3)=\frac{4^{3}e^{-4}}{3!}=\frac{64e^{-4}}{6}=\frac{32}{3}e^{-4}$。
    • 所以 $P(X\leq3)=e^{-4}(1 + 4+8+\frac{32}{3})=\frac{71}{3}e^{-4}$，其近似值为 $0.43347$。