甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,这们在一昼夜内到达的时间是等可能的,如果甲船停泊的时间是一小时,乙船停泊的时间是两小时,求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率是多少?

本题考查几何概型的概率计算。解题的关键思路是通过建立平面直角坐标系，将甲、乙两船到达的时间转化为平面上的点，确定基本事件集和导致事件发生的集所对应的区域，然后分别计算这两个区域的面积，最后根据几何概型的概率公式计算概率。

步骤一：确定基本事件集

设甲、乙两船到达的时刻分别为$x$和$y$，因为它们在一昼夜（$24$小时）内到达的时间是等可能的，所以$0\leqslant x\leqslant 24$，$0\leqslant y\leqslant 24$。
在平面直角坐标系中，基本事件集对应的区域是由$x = 0$，$x = 24$，$y = 0$，$y = 24$所围成的正方形，根据正方形面积公式$S=a^2$（其中$a$为边长），可得该正方形的面积为$24^2$。

步骤二：确定导致事件发生的集

若甲先到，则乙必须晚$1$小时到达，即$y\geqslant x + 1$；若乙先到，则甲必须晚$2$小时到达，即$x\geqslant y + 2$，也就是$y\leqslant x - 2$。
在平面直角坐标系中，$y = x + 1$和$y = x - 2$是两条直线。

• 对于$y\geqslant x + 1$，它表示直线$y = x + 1$上方的区域；
• 对于$y\leqslant x - 2$，它表示直线$y = x - 2$下方的区域。
  导致事件发生的集对应的区域是由这两条直线与正方形边界所围成的两个三角形，分别记为$S_1$和$S_2$。
• 三角形$S_1$：其底为$24 - 1 = 23$，高也为$23$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（其中$a$为底，$h$为高），可得$S_1=\frac{1}{2}\times(24 - 1)^2=\frac{1}{2}\times23^2$。
• 三角形$S_2$：其底为$24 - 2 = 22$，高也为$22$，同理可得$S_2=\frac{1}{2}\times(24 - 2)^2=\frac{1}{2}\times22^2$。
  所以导致事件发生的集的面积为$S_1 + S_2=\frac{1}{2}\times(23^2 + 22^2)$。

步骤三：计算概率

根据几何概型的概率计算公式$P(A)=\frac{导致事件发生的集的面积}{基本事件集的面积}$，可得：
$P(A)=\frac{\frac{1}{2}\times(23^2 + 22^2)}{24^2}=\frac{\frac{1}{2}\times(529 + 484)}{576}=\frac{\frac{1}{2}\times1013}{576}=\frac{1013}{1152}$