题目

已知三角形ABC的三个内角的度数恰好成倍数关系，即∠A是∠B的3倍，∠B是∠C的2倍。∠A，∠B，∠C各是多少度？————

已知三角形ABC的三个内角的度数恰好成倍数关系，即∠A是∠B的3倍，∠B是∠C的2倍。∠A，∠B，∠C各是多少度？ ————

题目解答

答案

设∠C为 $ x $ 度，则∠B为 $ 2x $ 度，∠A为 $ 6x $ 度（因∠A是∠B的3倍，∠B是∠C的2倍）。 根据三角形内角和为180°，得： \[ 6x + 2x + x = 180^\circ \] 解得： \[ 9x = 180^\circ \implies x = 20^\circ \] 因此，∠C = $ 20^\circ $，∠B = $ 40^\circ $，∠A = $ 120^\circ $。 答案： \[ \boxed{ \begin{array}{l} \angle A = 120^\circ \\ \angle B = 40^\circ \\ \angle C = 20^\circ \end{array} } \]

解析

本题考查三角形内角和定理以及利用方程求解角度的知识。解题思路是通过设未知数，根据题目中三个角的倍数关系表示出各个角的度数，再利用三角形内角和为$180^{\circ}$这一性质列出方程，最后求解方程得到各个角的度数。

  1. 设未知数：
    设$\angle C$为$x$度。
    因为$\angle B$是$\angle C$的$2$倍，所以$\angle B = 2x$度。
    又因为$\angle A$是$\angle B$的$3$倍，所以$\angle A = 3\times\angle B = 3\times2x = 6x$度。
  2. 根据三角形内角和定理列方程：
    三角形内角和为$180^{\circ}$，即$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$。
    把$\angle A = 6x$度，$\angle B = 2x$度，$\angle C = x$度代入方程可得：$6x + 2x + x = 180^{\circ}$。
  3. 解方程：
    对$6x + 2x + x = 180^{\circ}$进行合并同类项，可得$(6 + 2 + 1)x = 180^{\circ}$，即$9x = 180^{\circ}$。
    方程两边同时除以$9$，得到$x=\frac{180^{\circ}}{9}=20^{\circ}$。
  4. 求出各个角的度数：
    因为$\angle C = x$度，所以$\angle C = 20^{\circ}$。
    因为$\angle B = 2x$度，所以$\angle B = 2\times20^{\circ}=40^{\circ}$。
    因为$\angle A = 6x$度，所以$\angle A = 6\times20^{\circ}=120^{\circ}$。