题目
1.已知随机变量 sim N(mu ,(sigma )^2) ,则随σ的增大, |X-mu |lt 30 () .-|||-(A)单调增加 (B)单调减少 (C)保持不变 (D)非单调变化
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解随机变量的分布
随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^{2})$，其中 $\mu$ 是均值，$\sigma$ 是标准差。正态分布的性质之一是，对于任意的 $k$，$P\{ |X-\mu |\lt k\sigma \}$ 的值只依赖于 $k$，而与 $\mu$ 和 $\sigma$ 的具体值无关。
步骤 2：标准化随机变量
将 $X$ 标准化为 $Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$，则 $Z$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$。因此，$P\{ |X-\mu |\lt 30\}$ 可以写成 $P\{ |Z|\lt \frac{30}{\sigma}\}$。
步骤 3：分析概率随 $\sigma$ 的变化
由于 $Z$ 服从标准正态分布，$P\{ |Z|\lt \frac{30}{\sigma}\}$ 的值只依赖于 $\frac{30}{\sigma}$。当 $\sigma$ 增大时，$\frac{30}{\sigma}$ 减小，因此 $P\{ |Z|\lt \frac{30}{\sigma}\}$ 的值保持不变，因为标准正态分布的累积分布函数在 $z$ 轴上的值是固定的。
随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^{2})$，其中 $\mu$ 是均值，$\sigma$ 是标准差。正态分布的性质之一是，对于任意的 $k$，$P\{ |X-\mu |\lt k\sigma \}$ 的值只依赖于 $k$，而与 $\mu$ 和 $\sigma$ 的具体值无关。
步骤 2：标准化随机变量
将 $X$ 标准化为 $Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$，则 $Z$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$。因此，$P\{ |X-\mu |\lt 30\}$ 可以写成 $P\{ |Z|\lt \frac{30}{\sigma}\}$。
步骤 3：分析概率随 $\sigma$ 的变化
由于 $Z$ 服从标准正态分布，$P\{ |Z|\lt \frac{30}{\sigma}\}$ 的值只依赖于 $\frac{30}{\sigma}$。当 $\sigma$ 增大时，$\frac{30}{\sigma}$ 减小，因此 $P\{ |Z|\lt \frac{30}{\sigma}\}$ 的值保持不变，因为标准正态分布的累积分布函数在 $z$ 轴上的值是固定的。