题目
12.[填空题]已知X~Exp(1/6)，Y~N(9,4)，则E(X+Y)=____，若X与Y相互独立，则：E(XY)=____，D(X-Y)=____。第1空：第2空：第3空：
12.[填空题]
已知X~Exp(1/6)，Y~N(9,4)，则
E(X+Y)=____，若X与Y相互独立，则：
E(XY)=____，D(X-Y)=____。
第1空：
第2空：
第3空：
题目解答
答案
为了解决这个问题，我们需要使用指数分布和正态分布的性质，以及期望和方差的性质。
1. **计算 $ E(X+Y) $:**
对于指数分布 $ X \sim \text{Exp}(\lambda) $，期望 $ E(X) $ 由 $ \frac{1}{\lambda} $ 给出。这里， $ \lambda = \frac{1}{6} $，所以：
\[
E(X) = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6.
\]
对于正态分布 $ Y \sim N(\mu, \sigma^2) $，期望 $ E(Y) $ 是 $ \mu $。这里， $ \mu = 9 $，所以：
\[
E(Y) = 9.
\]
两个随机变量的和的期望是它们的期望的和，所以：
\[
E(X+Y) = E(X) + E(Y) = 6 + 9 = 15.
\]
2. **计算 $ E(XY) $（假设 $ X $ 和 $ Y $ 相互独立）：**
如果两个随机变量 $ X $ 和 $ Y $ 相互独立，那么它们的乘积的期望是它们的期望的乘积，所以：
\[
E(XY) = E(X)E(Y) = 6 \cdot 9 = 54.
\]
3. **计算 $ D(X-Y) $（假设 $ X $ 和 $ Y $ 相互独立）：**
两个随机变量的差的方差是它们的方差的和，如果它们相互独立。对于指数分布 $ X \sim \text{Exp}(\lambda) $，方差 $ D(X) $ 由 $ \frac{1}{\lambda^2} $ 给出。这里， $ \lambda = \frac{1}{6} $，所以：
\[
D(X) = \frac{1}{\left(\frac{1}{6}\right)^2} = \frac{1}{\frac{1}{36}} = 36.
\]
对于正态分布 $ Y \sim N(\mu, \sigma^2) $，方差 $ D(Y) $ 是 $ \sigma^2 $。这里， $ \sigma^2 = 4 $，所以：
\[
D(Y) = 4.
\]
因此， $ X-Y $ 的方差是：
\[
D(X-Y) = D(X) + D(Y) = 36 + 4 = 40.
\]
将所有答案汇总，我们得到：
\[
\boxed{15, 54, 40}
\]
解析
考查要点：本题主要考查指数分布和正态分布的期望与方差，以及独立随机变量的期望和方差性质。
解题核心思路：
- 期望的线性性质：无论变量是否独立，$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$。
- 独立变量的乘积期望：若$X$与$Y$独立，则$E(XY) = E(X)E(Y)$。
- 方差的性质：若$X$与$Y$独立，则$D(X \pm Y) = D(X) + D(Y)$。
破题关键点：
- 指数分布：$X \sim \text{Exp}(\lambda)$的期望为$\frac{1}{\lambda}$，方差为$\frac{1}{\lambda^2}$。
- 正态分布：$Y \sim N(\mu, \sigma^2)$的期望为$\mu$，方差为$\sigma^2$。
第1空：$E(X+Y)$
-
计算$E(X)$
$X \sim \text{Exp}\left(\frac{1}{6}\right)$，因此：
$E(X) = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6.$ -
计算$E(Y)$
$Y \sim N(9, 4)$，因此：
$E(Y) = 9.$ -
求和期望
根据期望的线性性质：
$E(X+Y) = E(X) + E(Y) = 6 + 9 = 15.$
第2空：$E(XY)$
- 独立变量的乘积期望
因为$X$与$Y$独立，所以：
$E(XY) = E(X) \cdot E(Y) = 6 \cdot 9 = 54.$
第3空：$D(X-Y)$
-
计算$D(X)$
$X \sim \text{Exp}\left(\frac{1}{6}\right)$，因此：
$D(X) = \frac{1}{\left(\frac{1}{6}\right)^2} = 36.$ -
计算$D(Y)$
$Y \sim N(9, 4)$，因此：
$D(Y) = 4.$ -
求差方差
因为$X$与$Y$独立，方差相加：
$D(X-Y) = D(X) + D(Y) = 36 + 4 = 40.$