12.设总体 approx N(mu ,1), 若X1,X2,···,Xn为自总体X的样本,X为样本均值,则下-|||-列结论中不正确的是 () .-|||-A. sum _(i=1)^n(({X)_(i)-mu )}^2 服从x^2分布 B. (({X)_(n)-(X)_(1))}^2 服从x^2分布-|||-C. sum _(i=1)^n(({X)_(i)-overline (X))}^2 服从x^2分布 D. ((overline {X)-mu )}^2 服从x^2分布

本题考查正态总体下统计量的分布，核心在于判断各选项是否符合卡方分布的定义及性质。关键点包括：

1. 卡方分布的构成：独立标准正态变量的平方和；
2. 样本均值的分布：$\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{1}{n}\right)$；
3. 样本方差的分布：$\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2 \sim \chi^2(n-1)$；
4. 线性组合的方差计算：如$X_n - X_1$的方差为$2$。

选项A

$\sum_{i=1}^{n}(X_i - \mu)^2$

• 每个$X_i \sim N(\mu, 1)$，故$X_i - \mu \sim N(0, 1)$；
• $(X_i - \mu)^2 \sim \chi^2(1)$，独立；
• 和为$\chi^2(n)$，正确。

选项B

$2(X_n - X_1)^2$

• $X_n - X_1 \sim N(0, 2)$，标准化后$\frac{X_n - X_1}{\sqrt{2}} \sim N(0, 1)$；
• $\left(\frac{X_n - X_1}{\sqrt{2}}\right)^2 \sim \chi^2(1)$；
• 原式为$2(X_n - X_1)^2 = 2 \cdot 2 \cdot \left(\frac{X_n - X_1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 4 \cdot \chi^2(1)$，不符合卡方分布，错误。

选项C

$\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$

• 样本方差公式：$\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2 \sim \chi^2(n-1)$；
• $\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2 \sim \chi^2(n-1)$，正确。

选项D

$n(\overline{X} - \mu)^2$

• $\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{1}{n}\right)$，故$n(\overline{X} - \mu) \sim N(0, 1)$；
• $[n(\overline{X} - \mu)]^2 \sim \chi^2(1)$，正确。