题目
设总体X的均值为μ,方差为σ^2,X1,X 2,···,Xn为来自X的一个样本,X是样设总体X的均值为μ,方差为σ^2,X1,X 2,···,Xn为来自X的一个样本,X是样设总体X的均值为μ,方差为σ^2,X1,X 2,···,Xn为来自X的一个样本,X是样
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解样本均值的定义
样本均值X定义为所有样本值的平均值，即$X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$，其中$X_i$是第i个样本值，n是样本数量。
步骤 2：计算样本均值的方差
样本均值X的方差D(X)可以通过方差的性质来计算。对于随机变量的线性组合，方差的性质是$D(aX+b) = a^2D(X)$，其中a和b是常数。因此，$D(X) = D(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i) = \frac{1}{n^2}D(\sum_{i=1}^{n}X_i)$。
步骤 3：利用独立样本的方差性质
由于$X_1, X_2, ..., X_n$是来自总体X的独立样本，所以$\sum_{i=1}^{n}X_i$的方差等于每个$X_i$的方差之和，即$D(\sum_{i=1}^{n}X_i) = \sum_{i=1}^{n}D(X_i) = n\sigma^2$，其中$\sigma^2$是总体方差。
步骤 4：计算最终结果
将步骤3的结果代入步骤2的方差公式中，得到$D(X) = \frac{1}{n^2} \cdot n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}$。
样本均值X定义为所有样本值的平均值，即$X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$，其中$X_i$是第i个样本值，n是样本数量。
步骤 2：计算样本均值的方差
样本均值X的方差D(X)可以通过方差的性质来计算。对于随机变量的线性组合，方差的性质是$D(aX+b) = a^2D(X)$，其中a和b是常数。因此，$D(X) = D(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i) = \frac{1}{n^2}D(\sum_{i=1}^{n}X_i)$。
步骤 3：利用独立样本的方差性质
由于$X_1, X_2, ..., X_n$是来自总体X的独立样本，所以$\sum_{i=1}^{n}X_i$的方差等于每个$X_i$的方差之和，即$D(\sum_{i=1}^{n}X_i) = \sum_{i=1}^{n}D(X_i) = n\sigma^2$，其中$\sigma^2$是总体方差。
步骤 4：计算最终结果
将步骤3的结果代入步骤2的方差公式中，得到$D(X) = \frac{1}{n^2} \cdot n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}$。