题目
8.(简答题，10.0分)8、若随机变量X~N(2,4),求P(2<4)的值（结果用Φ(x)的值表示）。
8.(简答题，10.0分)
8、若随机变量X~N(2,4),求P{2<4}的值（结果用Φ(x)的值表示）。
题目解答
答案
为了求解 $ P\{2 < X < 4\} $ 的值，其中 $ X \sim N(2, 4) $，我们需要将 $ X $ 标准化为标准正态变量 $ Z $。标准正态变量 $ Z $ 的均值为 0，方差为 1。
首先，我们给出 $ X $ 的均值 $ \mu $ 和标准差 $ \sigma $：
\[
\mu = 2, \quad \sigma^2 = 4 \implies \sigma = \sqrt{4} = 2
\]
将 $ X $ 标准化为 $ Z $ 的公式为：
\[
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
\]
现在，我们分别将 $ X = 2 $ 和 $ X = 4 $ 代入公式，得到对应的 $ Z $ 值：
\[
Z_1 = \frac{2 - 2}{2} = 0
\]
\[
Z_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1
\]
因此， $ P\{2 < X < 4\} $ 可以转换为 $ P\{0 < Z < 1\} $。
根据标准正态分布的性质， $ P\{0 < Z < 1\} $ 可以表示为：
\[
P\{0 < Z < 1\} = \Phi(1) - \Phi(0)
\]
其中 $ \Phi(x) $ 是标准正态分布的 cumulative distribution function (CDF)。
已知 $ \Phi(0) = 0.5 $（因为标准正态分布的对称性， $ Z = 0 $ 时的 CDF 为 0.5），所以：
\[
P\{0 < Z < 1\} = \Phi(1) - 0.5
\]
因此， $ P\{2 < X < 4\} $ 的值为：
\[
\boxed{\Phi(1) - 0.5}
\]
解析
本题考查正态分布的标准化以及标准正态分布的概率计算。解题思路是先根据已知的正态分布$X\sim N(2,4)$确定其均值$\mu$和标准差$\sigma$，然后利用标准化公式将随机变量$X$转化为标准正态变量$Z$，最后根据标准正态分布的性质计算$P\{2 < X < 4\}$的值。
- 确定正态分布的参数：
已知随机变量$X\sim N(2,4)$，根据正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$的定义，可得均值$\mu = 2$，方差$\sigma^{2}=4$，则标准差$\sigma=\sqrt{4} = 2$。 - 进行标准化：
标准化公式为$Z=\frac{X - \mu}{\sigma}$。- 当$X = 2$时，$Z_1=\frac{2 - 2}{2}=0$。
- 当$X = 4$时，$Z_2=\frac{4 - 2}{2}=1$。
所以$P\{2 < X < 4\}=P\{0 < Z < 1\}$。
- 利用标准正态分布的性质计算概率：
对于标准正态分布$Z\sim N(0,1)$，其概率$P\{a < Z < b\}=\Phi(b)-\Phi(a)$，其中$\Phi(x)$是标准正态分布的累积分布函数。
那么$P\{0 < Z < 1\}=\Phi(1)-\Phi(0)$。
又因为标准正态分布关于$y$轴对称，所以$\Phi(0)=0.5$，则$P\{0 < Z < 1\}=\Phi(1)-0.5$。