题目
设随机变量 -b(2,p), 且 (Xgeqslant 1)=dfrac (5)(9), 则 (Xleqslant 1)=.设随机变量 -b(2,p), 且 (Xgeqslant 1)=dfrac (5)(9), 则 (Xleqslant 1)=.
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解二项分布的概率计算
对于二项分布 $x-b(2,p)$，$P(X\geqslant 1)$ 表示至少成功一次的概率，$P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)$。其中，$P(X=0)$ 表示两次试验均失败的概率，即 $(1-p)^2$。
步骤 2：计算 $p$ 的值
根据题目条件 $P(X\geqslant 1)=\dfrac {5}{9}$，可以得到 $1-P(X=0)=\dfrac {5}{9}$，即 $1-(1-p)^2=\dfrac {5}{9}$。解这个方程可以得到 $p$ 的值。首先，$(1-p)^2=1-\dfrac {5}{9}=\dfrac {4}{9}$，然后 $1-p=\pm \dfrac {2}{3}$。因为 $p$ 的取值范围是 $0\lt p\lt 1$，所以 $p=1-\dfrac {2}{3}=\dfrac {1}{3}$。
步骤 3：计算 $P(X\leqslant 1)$
$P(X\leqslant 1)=P(X=0)+P(X=1)$。其中，$P(X=0)=(1-p)^2$，$P(X=1)=2p(1-p)$。将 $p=\dfrac {1}{3}$ 代入，得到 $P(X\leqslant 1)={(1-\dfrac {1}{3})}^{2}+2\times \dfrac {1}{3}\times (1-\dfrac {1}{3})={(\dfrac {2}{3})}^{2}+2\times \dfrac {1}{3}\times \dfrac {2}{3}=\dfrac {4}{9}+\dfrac {4}{9}=\dfrac {8}{9}$。
对于二项分布 $x-b(2,p)$，$P(X\geqslant 1)$ 表示至少成功一次的概率，$P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)$。其中，$P(X=0)$ 表示两次试验均失败的概率，即 $(1-p)^2$。
步骤 2：计算 $p$ 的值
根据题目条件 $P(X\geqslant 1)=\dfrac {5}{9}$，可以得到 $1-P(X=0)=\dfrac {5}{9}$，即 $1-(1-p)^2=\dfrac {5}{9}$。解这个方程可以得到 $p$ 的值。首先，$(1-p)^2=1-\dfrac {5}{9}=\dfrac {4}{9}$，然后 $1-p=\pm \dfrac {2}{3}$。因为 $p$ 的取值范围是 $0\lt p\lt 1$，所以 $p=1-\dfrac {2}{3}=\dfrac {1}{3}$。
步骤 3：计算 $P(X\leqslant 1)$
$P(X\leqslant 1)=P(X=0)+P(X=1)$。其中，$P(X=0)=(1-p)^2$，$P(X=1)=2p(1-p)$。将 $p=\dfrac {1}{3}$ 代入，得到 $P(X\leqslant 1)={(1-\dfrac {1}{3})}^{2}+2\times \dfrac {1}{3}\times (1-\dfrac {1}{3})={(\dfrac {2}{3})}^{2}+2\times \dfrac {1}{3}\times \dfrac {2}{3}=\dfrac {4}{9}+\dfrac {4}{9}=\dfrac {8}{9}$。