下列函数中既是奇函数又是单调增加函数的是（ ）A. sin^3 xB. x^3 + 1C. x^3 - xD. x^3 + x

本题考查函数的奇偶性和单调性的判断。解题思路是先根据奇函数的定义判断函数是否为奇函数，再通过求导判断函数的单调性。

奇函数的定义

对于一个定义域关于原点对称的函数 $f(x)$ 的定义域内任意一个 $x$，都有 $f(-x) = -f(x)$，那么函数 $f(x)$ 就叫做奇函数。

函数单调性的判断

若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的导数 $f^\prime(x)\gt{}0$，则函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递增。

下面我们对每个选项逐一分析：

• 选项A：$f(x)=\sin^3 x$
  • 判断奇偶性：
    函数 $f(x)=\sin^3 x$ 的定义域为 $R$，关于原点对称。
    计算 $f(-x)$：$f(-x)=\sin^3 (-x)=(-\sin x)^3=-\sin^3 x=-f(x)$，所以 $f(x)=\sin^3 x$ 是奇函数。
  • 判断单调性：
    对 $f(x)=\sin^3 x$ 求导，根据复合函数求导法则 $(u^n)^\prime=nu^{n - 1}u^\prime$，令 $u = \sin x$，则 $f^\prime(x)=3\sin^2 x\cdot(\sin x)^\prime=3\sin^2 x\cos x$。
    因为 $\sin^2 x\geq0$，$\cos x$ 的值有正有负，所以 $f^\prime(x)$ 的值有正有负，即 $f(x)=\sin^3 x$ 不是单调增加函数。
• 选项B：$f(x)=x^3 + 1$
  • 判断奇偶性：
    函数 $f(x)=x^3 + 1$ 的定义域为 $R$，关于原点对称。
    计算 $f(-x)$：$f(-x)=(-x)^3 + 1=-x^3 + 1$，而 $-f(x)=-(x^3 + 1)=-x^3 - 1$，$f(-x)\neq -f(x)$，所以 $f(x)=x^3 + 1$ 不是奇函数。
• 选项C：$f(x)=x^3 - x$
  • 判断奇偶性：
    函数 $f(x)=x^3 - x$ 的定义域为 $R$，关于原点对称。
    计算 $f(-x)$：$f(-x)=(-x)^3 - (-x)=-x^3 + x=-(x^3 - x)=-f(x)$，所以 $f(x)=x^3 - x$ 是奇函数。
  • 判断单调性：
    对 $f(x)=x^3 - x$ 求导，$f^\prime(x)=(x^3 - x)^\prime=(x^3)^\prime - x^\prime=3x^2 - 1$。
    令 $f^\prime(x)=0$，即 $3x^2 - 1 = 0$，解方程可得 $x=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$。
    当 $x\in(-\infty,-\frac{\sqrt{3}}{3})\cup(\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty)$ 时，$f^\prime(x)\gt{}0$，函数单调递增；当 $x\in(-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3})$ 时，$f^\prime(x)\lt{}0$，函数单调递减。所以 $f(x)=x^3 - x$ 不是单调增加函数。
• 选项D：$f(x)=x^3 + x$
  • 判断奇偶性：
    函数 $f(x)=x^3 + x$ 的定义域为 $R$，关于原点对称。
    计算 $f(-x)$：$f(-x)=(-x)^3 + (-x)=-x^3 - x=-(x^3 + x)=-f(x)$，所以 $f(x)=x^3 + x$ 是奇函数。
  • 判断单调性：
    对 $f(x)=x^3 + x$ 求导，$f^\prime(x)=(x^3 + x)^\prime=(x^3)^\prime + x^\prime=3x^2 + 1$。
    因为 $x^2\geq0$，所以 $3x^2\geq0$，则 $3x^2 + 1\gt{}0$ 恒成立，即 $f^\prime(x)\gt{}0$ 恒成立，所以 $f(x)=x^3 + x$ 是单调增加函数。