设X_1, ldots, X_(10)是来自正态总体N(mu, sigma^2)的简单随机样本，overline(X)和S^2分别是样本均值和样本方差，则有（）A. (9S^2)/(sigma^2) sim chi^2(10)B. (sum_(i=1)^10(X_i-mu)^2)/(sigma^2) sim chi^2(9)C. (10(overline(X)-mu)^2)/(S^2) sim F(1,9)D. (10(overline(X)-mu)^2)/(sigma^2) sim chi^2(10)

本题主要考查正态总体下样本均值、样本方差的分布以及$\chi^2$分布、$F$分布的定义和性质。解题的关键在于熟悉这些分布的构造形式，并将题目中的样本统计量与之对应。

选项A分析

根据$\chi^2$分布的性质，若$X_1, \ldots, X_n$是来自正态总体$N(\mu, \sigma^2)$的简单随机样本，样本方差为$S^2$，则有$\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n - 1)$。
在本题中，$n = 10$，所以$\frac{(10 - 1)S^2}{\sigma^2}=\frac{9S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(10 - 1)=\chi^2(9)$，而不是$\chi^2(10)$，故选项A错误。

选项B分析

若$X_1, \ldots, X_n$是来自正态总体$N(\mu, \sigma^2)$的简单随机样本，则$\frac{X_i - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$，$i = 1, \ldots, n$。
且相互独立的标准正态分布随机变量的平方和服从$\chi^2$分布，即$\sum_{i=1}^{n}(\frac{X_i - \mu}{\sigma})^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)$。
本题中$n = 10$，所以$\frac{\sum_{i=1}^{10}(X_i - \mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(10)$，而不是$\chi^2(9)$，故选项B错误。

选项C分析

已知$\overline{X}$是样本均值，$S^2$是样本方差，且$\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$，则$\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)$。
那么$(\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}})^2 \sim \chi^2(1)$，又因为$\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n - 1)$，且$\overline{X}$与$S^2$相互独立。
根据$F$分布的定义：若$U \sim \chi^2(n_1)$，$V \sim \chi^2(n_2)$，且$U$与$V$相互独立，则$\frac{U/n_1}{V/n_2} \sim F(n_1, n_2)$。
在本题中，$U = (\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}})^2$，$n_1 = 1$，$V = \frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2}$，$n_2 = n - 1 = 9$，则：
$\begin{align*}\frac{(\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}})^2/1}{\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2}/(n - 1)}&=\frac{(\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}})^2}{\frac{S^2}{\sigma^2}}\\&=\frac{(\overline{X} - \mu)^2}{S^2/n}\\&=\frac{n(\overline{X} - \mu)^2}{S^2}\end{align*}$
当$n = 10$时，$\frac{10(\overline{X} - \mu)^2}{S^2} \sim F(1, 9)$，故选项C正确。

选项D分析

由前面分析可知$\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)$，则$(\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}})^2 \sim \chi^2(1)$。
本题中$n = 10$，所以$(\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{10}})^2=\frac{10(\overline{X} - \mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(1)$，而不是$\chi^2(10)$，故选项D错误。