13.（单选题，2.0分） 设X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自正态总体N(mu,sigma^2)的样本，下面正确的是（）。A. overline(X)=(1)/(n)sum_(i=1)^nX_(i)sim N(mu,sigma^2)B. (1)/(n)sum_(i=1)^n(overline(X)-mu)sim N(0,(sigma^2)/(n))C. (1)/(sigma^2)cdot(1)/(n)sum_(i=1)^n(X_(i)-mu)^2simchi^2(n-1)D. (1)/(sigma^2)cdot(1)/(n)sum_(i=1)^n(X_(i)-overline(X))^2simchi^2(n)
A. $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\sim N(\mu,\sigma^{2})$
B. $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\overline{X}-\mu)\sim N(0,\frac{\sigma^{2}}{n})$
C. $\frac{1}{\sigma^{2}}\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}\sim\chi^{2}(n-1)$
D. $\frac{1}{\sigma^{2}}\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}\sim\chi^{2}(n)$
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查正态总体样本的性质，包括样本均值的分布、卡方分布的构造条件，以及自由度的确定。
解题核心思路：
- 样本均值的分布：正态总体的样本均值服从正态分布，其方差为总体方差除以样本量。
- 卡方分布的构造：独立标准正态变量的平方和服从卡方分布，且自由度由变量个数决定。特别注意样本方差的无偏估计会引入自由度调整（如$n-1$）。
破题关键点：
- 选项A：混淆样本均值与单个样本的方差。
- 选项B：化简表达式后，直接对应正态分布的性质。
- 选项C、D：卡方分布的构造需满足独立标准正态变量的平方和，且自由度需正确计算。
选项A分析
样本均值$\overline{X}$的分布为：
$\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$
错误原因：选项A中方差写为$\sigma^2$，未除以$n$。
选项B分析
表达式化简：
$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\overline{X} - \mu) = \overline{X} - \mu$
由于$\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，故$\overline{X} - \mu \sim N\left(0, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，正确。
选项C分析
构造卡方分布需满足：
$\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{X_i - \mu}{\sigma}\right)^2 \sim \chi^2(n)$
但选项C中被$\frac{1}{n}$缩放，导致分布改变，错误。
选项D分析
样本方差的无偏估计为：
$\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{X_i - \overline{X}}{\sigma}\right)^2 \sim \chi^2(n-1)$
但选项D中被$\frac{1}{n}$缩放，且自由度错误，错误。