设 a_n > 0，下列命题中正确的是（ ）.A 若 sum_(n=1)^infty a_n 收敛，则 lim_(n to infty) (a_(n+1))/(a_n) leq 1.B 若 lim_(n to infty) n a_n = 0，则 sum_(n=1)^infty a_n 收敛；C 若 (a_(n+1))/(a_n) leq (1 - (1)/(n+1))^2，则 sum_(n=1)^infty a_n 收敛；D 若 sum_(n=1)^infty a_n 收敛，则 lim_(n to infty) n a_n = 0；

这是一道关于正项级数敛散性判定的选择题。我们需要逐一分析四个选项的正确性。

选项 A：若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \leq 1$

这个命题是错误的。级数收敛并不能保证比值极限 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$ 存在。
我们可以构造一个反例：
设 $a_n = \begin{cases} \frac{1}{n^2}, & n \text{ 为奇数} \\ \frac{1}{2^n}, & n \text{ 为偶数} \end{cases}$
因为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$ 都收敛，所以级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛。
我们来计算比值 $\frac{a_{n+1}}{a_n}$：
当 $n$ 为奇数时，$n+1$ 为偶数，$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1/2^{n+1}}{1/n^2} = \frac{n^2}{2^{n+1}} \to 0$ ($n \to \infty$)；
当 $n$ 为偶数时，$n+1$ 为奇数，$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1/(n+1)^2}{1/2^n} = \frac{2^n}{(n+1)^2} \to +\infty$ ($n \to \infty$)。
因此，$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$ 不存在，更谈不上 $\leq 1$。

选项 B：若 $\lim_{n \to \infty} n a_n = 0$，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛

这个命题是错误的。$\lim_{n \to \infty} n a_n = 0$ 是一个比 $a_n$ 是无穷小量更强的条件，但依然不足以保证级数收敛。
反例：取 $a_n = \frac{1}{n \ln(n+1)}$ （$n \geq 1$）。
计算极限：$\lim_{n \to \infty} n a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n \ln(n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\ln(n+1)} = 0$。
但是，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln(n+1)}$ 是发散的（可以通过积分判别法证明，$\int \frac{1}{x \ln x} dx = \ln(\ln x)$ 发散）。

选项 C：若 $\frac{a_{n+1}}{a_n} \leq \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^2$，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛

这个命题是正确的。我们来推导一下。
已知条件为 $\frac{a_{n+1}}{a_n} \leq \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^2 = \left(\frac{n}{n+1}\right)^2 = \frac{n^2}{(n+1)^2}$。
因为 $a_n > 0$，我们可以将不等式变形为 $\frac{a_{n+1}}{a_n} \leq \frac{n^2}{(n+1)^2}$。
对于 $n \geq 1$，我们可以写出：
$a_2 \leq a_1 \cdot \frac{1^2}{2^2}$
$a_3 \leq a_2 \cdot \frac{2^2}{3^2} \leq a_1 \cdot \frac{1^2}{2^2} \cdot \frac{2^2}{3^2} = a_1 \cdot \frac{1^2}{3^2}$
$a_4 \leq a_3 \cdot \frac{3^2}{4^2} \leq a_1 \cdot \frac{1^2}{3^2} \cdot \frac{3^2}{4^2} = a_1 \cdot \frac{1^2}{4^2}$
一般地，通过累乘可以得到 $a_n \leq a_1 \cdot \frac{1^2}{n^2} = \frac{a_1}{n^2}$。
因为 $p$ 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是收敛的（$p=2 > 1$），根据比较判别法，正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 也收敛。

选项 D：若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则 $\lim_{n \to \infty} n a_n = 0$

这个命题是错误的。即使正项级数收敛，$n a_n$ 的极限也不一定存在，更不一定为 0。
反例：构造一个级数，使其在绝大多数项上衰减很快，但在某些特定的项上衰减较慢。
设 $a_n = \begin{cases} \frac{1}{n}, & n = k^2 \text{ (即 } n=1, 4, 9, 16, \dots \text{)} \\ \frac{1}{n^2}, & n \neq k^2 \end{cases}$
级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{k=1}^{\infty} a_{k^2} + \sum_{n \neq k^2} a_n = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} + \sum_{n \neq k^2} \frac{1}{n^2}$。
因为 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}$ 收敛，且 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛，所以 $\sum_{n \neq k^2} \frac{1}{n^2}$ 也收敛。因此 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛。
但是，当 $n = k^2$ 时，$n a_n = k^2 \cdot \frac{1}{k^2} = 1$。
当 $n$ 取其他值时，$n a_n = n \cdot \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n} \to 0$。
由于子序列 $n a_{k^2} = 1$ 不趋于 0，所以 $\lim_{n \to \infty} n a_n$ 不存在，不等于 0。

综上所述，正确的命题是 C。

正确答案：C