【例1】(2016年下半年-高级中学-选择题)已知直线L的方程式为{}x+y-z+2=0,3x+5y-2z+5=0,.平面Ⅱ的方程为2x+8y+z+3=0，则直线L与平面Ⅱ的位置关系是（）。 A.平行 B.直线在平面内 C.垂直 D.相交但不垂直

考查要点：本题主要考查空间几何中直线与平面的位置关系判断，涉及直线方向向量、平面法向量的计算，以及向量点积的应用。

解题核心思路：

1. 确定直线方向向量：通过联立两平面方程得到的直线，其方向向量为两平面法向量的叉积。
2. 判断位置关系：通过直线方向向量与平面法向量的点积判断是否垂直（平行或直线在平面内），再验证直线上某点是否在平面内排除“直线在平面内”的可能性。

破题关键点：

• 方向向量与法向量的关系：若方向向量与平面法向量垂直（点积为0），则直线与平面平行或直线在平面内。
• 点代入验证：若直线上某点不在平面内，则排除“直线在平面内”，最终确定平行。

步骤1：求直线L的方向向量

直线L由两平面联立确定，其方向向量为两平面法向量的叉积：

• 第一平面法向量 $\mathbf{n_1} = (1, 1, -1)$
• 第二平面法向量 $\mathbf{n_2} = (3, 5, -2)$
• 方向向量 $\mathbf{d} = \mathbf{n_1} \times \mathbf{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 3 & 5 & -2 \end{vmatrix} = (3, -1, 2)$

步骤2：求平面π的法向量

平面π的方程为 $2x + 8y + z + 3 = 0$，其法向量为 $\mathbf{n} = (2, 8, 1)$。

步骤3：判断方向向量与法向量的关系

计算点积：
$\mathbf{d} \cdot \mathbf{n} = 3 \cdot 2 + (-1) \cdot 8 + 2 \cdot 1 = 6 - 8 + 2 = 0$
点积为0，说明直线方向向量与平面法向量垂直，直线可能平行于平面或在平面内。

步骤4：验证直线是否在平面内

取直线L上的点（例如令$z=0$，解方程组得点$(-\frac{5}{2}, \frac{1}{2}, 0)$），代入平面方程：
$2 \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) + 8 \cdot \frac{1}{2} + 0 + 3 = -5 + 4 + 3 = 2 \neq 0$
该点不在平面内，故直线不在平面内，最终结论为平行。