10（数二做）.设f(x)是(-∞,+∞)上连续的偶函数，且f(x)在(-∞,+∞)上有界，则F(x)=int_(0)^xte^-t^(2)f(t)dt是(-∞,+∞)上的（）A. 有界奇函数B. 无界奇函数C. 有界偶函数D. 无界偶函数

考查要点：本题主要考查积分函数的奇偶性及有界性判断，涉及偶函数的性质、变量替换法以及积分不等式的应用。

解题核心思路：

1. 奇偶性判断：通过变量替换将$F(-x)$转化为原积分形式，结合$f(x)$为偶函数的性质，判断$F(x)$的奇偶性。
2. 有界性判断：利用$f(x)$的有界性，结合被积函数的衰减特性（$e^{-t^2}$），通过积分不等式证明$F(x)$有界。

破题关键点：

• 变量替换：处理$F(-x)$时，通过$u = -t$简化积分表达式。
• 偶函数性质：$f(-u) = f(u)$简化积分中的函数形式。
• 积分放缩：利用$|e^{-t^2}| \leq 1$和$f(x)$的有界性，将积分转化为易求解的形式。

奇偶性分析

1. 计算$F(-x)$：
   $F(-x) = \int_{0}^{-x} t e^{-t^2} f(t) \, dt$
2. 变量替换：令$u = -t$，则$t = -u$，$dt = -du$，积分上下限变为$u = 0$到$u = x$：
   $F(-x) = \int_{0}^{x} (-u) e^{-u^2} f(-u) (-du) = \int_{0}^{x} u e^{-u^2} f(u) \, du = F(x)$
3. 结论：$F(-x) = F(x)$，故$F(x)$为偶函数。

有界性分析

1. 利用$f(x)$有界：存在$M > 0$，使得$|f(t)| \leq M$。
2. 积分放缩：
   $|F(x)| \leq \int_{0}^{x} |t e^{-t^2} f(t)| \, dt \leq M \int_{0}^{x} |t| e^{-t^2} \, dt$
3. 变量替换：令$u = t^2$，则$du = 2t \, dt$，积分变为：
   $\int_{0}^{x} t e^{-t^2} \, dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{x^2} e^{-u} \, du = \frac{1}{2} \left(1 - e^{-x^2}\right)$
4. 最终结果：
   $|F(x)| \leq \frac{M}{2} \left(1 - e^{-x^2}\right) \leq \frac{M}{2}$
   故$F(x)$有界。