题目

设随机变量 x sim U(0,5)（均匀分布），则 P(2 < x < 3) = ____

设随机变量 $x \sim U(0,5)$（均匀分布），则 $P(2 < x < 3) = \_\_\_\_$

题目解答

答案

我们来一步一步地解决这个问题。

题目回顾：

设随机变量 $ x \sim U(0, 5) $，即 $ x $ 服从区间 $[0, 5]$ 上的均匀分布，求概率：

$P(2 < x < 3)$

第一步：理解均匀分布的概率密度函数（PDF）

对于一个在区间 $[a, b]$ 上的均匀分布 $ U(a, b) $，其概率密度函数（PDF）为：

$f(x) = \begin{cases}\frac{1}{b - a}, & a \leq x \leq b \\0, & \text{其他}\end{cases}$

在本题中，$ a = 0 $，$ b = 5 $，所以：

$f(x) = \frac{1}{5 - 0} = \frac{1}{5}, \quad \text{当 } 0 \leq x \leq 5$

第二步：计算概率 $ P(2 < x < 3) $

对于连续型随机变量，概率就是概率密度函数在区间上的积分：

$P(2 < x < 3) = \int_{2}^{3} f(x) \, dx$

代入 $ f(x) = \frac{1}{5} $：

$P(2 < x < 3) = \int_{2}^{3} \frac{1}{5} \, dx = \frac{1}{5} \cdot (3 - 2) = \frac{1}{5}$

最终答案：

$\boxed{\frac{1}{5}}$

总结：

在均匀分布中，概率的大小与区间长度成正比。由于整个区间长度是 5，而 $ (2, 3) $ 的长度是 1，所以概率就是 $ \frac{1}{5} $。

解析

本题考查均匀分布的概率计算。解题思路是先明确均匀分布的概率密度函数，再根据连续型随机变量概率的计算方法，通过对概率密度函数在指定区间上进行积分来求解概率。

  1. 确定均匀分布的概率密度函数：
    • 对于在区间$[a,b]$上的均匀分布$U(a,b)$，其概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b - a},&a\leq x\leq b\\0,&\text{其他}\end{cases}$。
    • 已知随机变量$x\sim U(0,5)$，即$a = 0$，$b = 5$，将其代入概率密度函数可得$f(x)=\frac{1}{5 - 0}=\frac{1}{5}$，其中$0\leq x\leq 5$。
  2. 计算概率$P(2\lt x\lt 3)$：
    • 对于连续型随机变量，概率$P(c\lt x\lt d)$等于概率密度函数$f(x)$在区间$(c,d)$上的积分，即$P(c\lt x\lt d)=\int_{c}^{d}f(x)dx$。
    • 所以$P(2\lt x\lt 3)=\int_{2}^{3}f(x)dx$，把$f(x)=\frac{1}{5}$代入可得：
      • $P(2\lt x\lt 3)=\int_{2}^{3}\frac{1}{5}dx$。
      • 根据积分公式$\int_{c}^{d}kdx=k(d - c)$（$k$为常数），这里$k = \frac{1}{5}$，$c = 2$，$d = 3$，则$\int_{2}^{3}\frac{1}{5}dx=\frac{1}{5}\times(3 - 2)=\frac{1}{5}$。
    • 从几何意义上理解，均匀分布中概率的大小与区间长度成正比。整个区间$[0,5]$的长度是$5-0 = 5$，而区间$(2,3)$的长度是$3 - 2 = 1$，所以概率就是$\frac{1}{5}$。