题目
13.已知函数f(x)=}a+(b)/((x-1)^2),x<0e,x=0a(1+x)^(1)/(x),x>0 x=0在x=0处连续，求实数a与b的值.
13.已知函数$f(x)=\begin{cases}a+\frac{b}{(x-1)^{2}},x<0\\e,x=0\\a(1+x)^{\frac{1}{x}},x>0\end{cases}$ x=0在x=0处连续，求实数a与b的值.
题目解答
答案
为了使函数 $ f(x) $ 在 $ x = 0 $ 处连续，需满足 $ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) $。
1. **左极限**：
当 $ x < 0 $ 时，$ f(x) = a + \frac{b}{(x-1)^2} $，
\[
\lim_{x \to 0^-} f(x) = a + b
\]
2. **右极限**：
当 $ x > 0 $ 时，$ f(x) = a(1+x)^{\frac{1}{x}} $，
\[
\lim_{x \to 0^+} f(x) = ae
\]
3. **函数值**：
$ f(0) = e $
**连续条件**：
\[
\begin{cases}
a + b = e \\
ae = e
\end{cases}
\]
解得 $ a = 1 $，$ b = e - 1 $。
**答案**：
$\boxed{a = 1, b = e - 1}$
解析
考查要点：本题主要考查函数在某点连续的条件，即左极限、右极限与函数值相等。需要结合分段函数的表达式，分别计算左右极限，并建立方程求解参数。
解题核心思路：
- 连续条件：函数在$x=0$处连续需满足$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$。
- 左极限：当$x \to 0^-$时，使用$x<0$的表达式$a + \frac{b}{(x-1)^2}$，代入$x=0$计算。
- 右极限：当$x \to 0^+$时，使用$x>0$的表达式$a(1+x)^{\frac{1}{x}}$，利用已知极限$\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$。
- 联立方程：将左右极限与$f(0)=e$联立，解出$a$和$b$。
步骤1：计算左极限
当$x \to 0^-$时，$x < 0$，函数表达式为：
$f(x) = a + \frac{b}{(x-1)^2}$
代入$x=0$：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = a + \frac{b}{(0-1)^2} = a + b$
步骤2：计算右极限
当$x \to 0^+$时，$x > 0$，函数表达式为：
$f(x) = a(1+x)^{\frac{1}{x}}$
利用极限$\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$，得：
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = a \cdot e$
步骤3：应用连续条件
函数在$x=0$处连续，需满足：
$\begin{cases}\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) \\\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)\end{cases}$
即：
$\begin{cases}a + b = e \\a e = e\end{cases}$
步骤4：解方程组
- 从第二个方程$a e = e$得$a = 1$。
- 代入第一个方程$a + b = e$，得$1 + b = e$，解得$b = e - 1$。