题目
设在总体N(μ,σ ^2)中抽得一容量为16的样本,这里μ σ^2均未知.-|||-(1)求 {S)^2/(sigma )^2leqslant 2.041} ,其中S^2为样本方差.-|||-(2)求D(S^2).
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定样本方差的分布
由于样本是从正态分布总体中抽取的，样本方差 $S^2$ 的分布可以表示为 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，其中 $n$ 是样本容量，$\sigma^2$ 是总体方差，$\chi^2(n-1)$ 是自由度为 $n-1$ 的卡方分布。
步骤 2：计算概率
根据题目，样本容量 $n=16$，因此自由度 $n-1=15$。要计算 $P\{ {S}^{2}/{\sigma }^{2}\leqslant 2.041\}$，可以转化为 $P\{ \frac{15S^2}{\sigma^2} \leqslant 15 \times 2.041\}$，即 $P\{ \frac{15S^2}{\sigma^2} \leqslant 30.615\}$。根据卡方分布表，查得 $\chi^2_{0.01}(15)=30.578$，因此 $P\{ \frac{15S^2}{\sigma^2} \leqslant 30.615\} = 1 - 0.01 = 0.99$。
步骤 3：计算样本方差的方差
由 $\frac{15S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(15)$，可以得到 $D(\frac{15S^2}{\sigma^2}) = 2 \times 15 = 30$。因此，$D(S^2) = \frac{\sigma^4}{15^2} \times 30 = \frac{2\sigma^4}{15}$。
由于样本是从正态分布总体中抽取的，样本方差 $S^2$ 的分布可以表示为 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，其中 $n$ 是样本容量，$\sigma^2$ 是总体方差，$\chi^2(n-1)$ 是自由度为 $n-1$ 的卡方分布。
步骤 2：计算概率
根据题目，样本容量 $n=16$，因此自由度 $n-1=15$。要计算 $P\{ {S}^{2}/{\sigma }^{2}\leqslant 2.041\}$，可以转化为 $P\{ \frac{15S^2}{\sigma^2} \leqslant 15 \times 2.041\}$，即 $P\{ \frac{15S^2}{\sigma^2} \leqslant 30.615\}$。根据卡方分布表，查得 $\chi^2_{0.01}(15)=30.578$，因此 $P\{ \frac{15S^2}{\sigma^2} \leqslant 30.615\} = 1 - 0.01 = 0.99$。
步骤 3：计算样本方差的方差
由 $\frac{15S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(15)$，可以得到 $D(\frac{15S^2}{\sigma^2}) = 2 \times 15 = 30$。因此，$D(S^2) = \frac{\sigma^4}{15^2} \times 30 = \frac{2\sigma^4}{15}$。