题目
7.对敌阵地进行100次炮击，第k次炮击命中的炮弹数为X_(k)，且它们是独立同分布的随机变量，它们的数学期望均为4，方差均为2.25，问在100次炮击中有380到420颗炮弹击中目标的概率的近似值。
7.对敌阵地进行100次炮击，第k次炮击命中的炮弹数为$X_{k}$，且它们是独立同分布的随机变量，它们的数学期望均为4，方差均为2.25，问在100次炮击中有380到420颗炮弹击中目标的概率的近似值。
题目解答
答案
设 $X_k$ 表示第 $k$ 次炮击命中的炮弹数，$E(X_k) = 4$，$D(X_k) = 2.25$。总命中数 $X = \sum_{k=1}^{100} X_k$，则
\[
E(X) = 100 \times 4 = 400, \quad D(X) = 100 \times 2.25 = 225.
\]
由中心极限定理，$X$ 近似服从 $N(400, 225)$。标准化得
\[
P(380 \leq X \leq 420) \approx P\left(-\frac{4}{3} \leq Z \leq \frac{4}{3}\right) = 2\Phi\left(\frac{4}{3}\right) - 1.
\]
查表得 $\Phi\left(\frac{4}{3}\right) \approx 0.9082$，故
\[
P \approx 2 \times 0.9082 - 1 = 0.8164.
\]
**答案：** $\boxed{0.8164}$
解析
步骤 1：确定随机变量的期望和方差
设 $X_k$ 表示第 $k$ 次炮击命中的炮弹数，已知 $E(X_k) = 4$，$D(X_k) = 2.25$。总命中数 $X = \sum_{k=1}^{100} X_k$，则总期望和方差分别为：
\[ E(X) = 100 \times 4 = 400, \quad D(X) = 100 \times 2.25 = 225. \]
步骤 2：应用中心极限定理
由中心极限定理，当样本量足够大时，独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布。因此，$X$ 近似服从 $N(400, 225)$。
步骤 3：标准化并计算概率
标准化得：
\[ P(380 \leq X \leq 420) \approx P\left(\frac{380 - 400}{\sqrt{225}} \leq Z \leq \frac{420 - 400}{\sqrt{225}}\right) = P\left(-\frac{4}{3} \leq Z \leq \frac{4}{3}\right). \]
查标准正态分布表得 $\Phi\left(\frac{4}{3}\right) \approx 0.9082$，故：
\[ P \approx 2\Phi\left(\frac{4}{3}\right) - 1 = 2 \times 0.9082 - 1 = 0.8164. \]
设 $X_k$ 表示第 $k$ 次炮击命中的炮弹数，已知 $E(X_k) = 4$，$D(X_k) = 2.25$。总命中数 $X = \sum_{k=1}^{100} X_k$，则总期望和方差分别为：
\[ E(X) = 100 \times 4 = 400, \quad D(X) = 100 \times 2.25 = 225. \]
步骤 2：应用中心极限定理
由中心极限定理，当样本量足够大时，独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布。因此，$X$ 近似服从 $N(400, 225)$。
步骤 3：标准化并计算概率
标准化得：
\[ P(380 \leq X \leq 420) \approx P\left(\frac{380 - 400}{\sqrt{225}} \leq Z \leq \frac{420 - 400}{\sqrt{225}}\right) = P\left(-\frac{4}{3} \leq Z \leq \frac{4}{3}\right). \]
查标准正态分布表得 $\Phi\left(\frac{4}{3}\right) \approx 0.9082$，故：
\[ P \approx 2\Phi\left(\frac{4}{3}\right) - 1 = 2 \times 0.9082 - 1 = 0.8164. \]