如果家庭月总支出，得到如下表： 单位:元-|||-编号 文化支出 总支出 编号 文化支出 总支出-|||-1 200 2300 11 150 1600-|||-2 150 1700 12 160 1700-|||-3 170 2000 13 180 2000-|||-4 150 1500 14 130 1400-|||-5 160 1700 15 150 1600-|||-6 130 1400 16 100 1200-|||-7 140 1500 17 180 1900-|||-8 100 1200 18 100 1100-|||-9 110 1200 19 170 1800-|||-10 140 1500 20 120 1300 全部家庭的总支出平均为1600元，利用比估计的方法估计平均文化支出，给出置信水平95%的置信区间，并比较比估计和简单估计的效率。

考查要点：本题主要考查比估计方法的应用，包括比估计量的计算、置信区间的构建，以及比估计与简单估计效率的比较。

解题核心思路：

1. 比估计原理：利用辅助变量（总支出）与研究变量（文化支出）的比例关系，提高估计精度。
2. 关键步骤：
   • 计算样本均值 $\overline{X}$ 和 $\overline{Y}$；
   • 估计比率 $R = \frac{\overline{Y}}{\overline{X}}$；
   • 利用总体均值 $\overline{X}_\text{总体}$ 计算比估计量 $\overline{Y}_R$；
   • 通过样本方差、协方差计算标准误，构建置信区间；
   • 比较比估计与简单估计的标准误，判断效率。

破题关键：正确代入比估计公式，准确计算方差、协方差，并理解置信区间公式的推导逻辑。

1. 计算样本均值 $\overline{X}$ 和 $\overline{Y}$

• 总支出均值：$\overline{X} = \frac{1}{20}(2300 + 1700 + \cdots + 1300) = 1580$ 元；
• 文化支出均值：$\overline{Y} = \frac{1}{20}(200 + 150 + \cdots + 120) = 144.5$ 元。

2. 估计比率 $R$

$R = \frac{\overline{Y}}{\overline{X}} = \frac{144.5}{1580} \approx 0.091$

3. 计算比估计量 $\overline{Y}_R$

利用总体均值 $\overline{X}_\text{总体} = 1600$ 元：
$\overline{Y}_R = R \cdot \overline{X}_\text{总体} = 0.091 \cdot 1600 \approx 146.329 \text{ 元}$

4. 计算方差与协方差

• 样本方差：$S^2 = \frac{1}{19}\sum_{i=1}^{20}(Y_i - \overline{Y})^2 = 826.053$；
• 协方差：$S_{XY} = \frac{1}{19}\sum_{i=1}^{20}(Y_i - \overline{Y})(X_i - \overline{X}) = 3463.158$；
• 总支出方差：$S_X^2 = \frac{1}{19}\sum_{i=1}^{20}(X_i - \overline{X})^2 = 8831579$。

5. 计算标准误

$\text{标准误} = \sqrt{\frac{1}{20} \left( S^2 - 2R S_{XY} + R^2 S_X^2 \right)} \approx 1.892$

6. 构建置信区间

• 置信水平 95%，查标准正态分布分位数 $Z_{\alpha/2} = 1.96$；
• 置信区间：
  $\overline{Y}_R \pm Z_{\alpha/2} \cdot \text{标准误} = 146.329 \pm 1.96 \cdot 1.892$
  即 $[142.621, 150.037]$。

7. 比较效率

• 简单估计标准误：$\sqrt{\frac{1}{20} S^2} \approx \sqrt{41.3027} \approx 6.426$；
• 比估计标准误：$1.892$；
• 结论：比估计标准误更小，效率更高。