设 y = log_x a (a > 0)，则 (dy)/(dx) = ()A. (1)/(x) log_a eB. (1)/(x ln a)C. -((1)/(log_a x))^2 cdot (1)/(x ln a)D. -((1)/(log_a x))^2 cdot (1)/(x)

本题考查对数函数的换底公式以及复合函数求导法则。解题的关键思路是先利用换底公式将给定的对数函数转化为以自然对数为底的形式，然后再根据复合函数求导法则进行求导。

步骤一：利用换底公式对函数进行变形

已知$y = \log_x a$，根据换底公式$\log_m n=\frac{\ln n}{\ln m}$，可得$y = \log_x a=\frac{\ln a}{\ln x}$。

步骤二：对变形后的函数求导

设$u = \ln x$，则$y=\frac{\ln a}{u}$，这里$\ln a$为常数。
根据复合函数求导法则$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$。

• 先对$y=\frac{\ln a}{u}$关于$u$求导，根据求导公式$(\frac{C}{x})^\prime=-\frac{C}{x^2}$（$C$为常数），可得$\frac{dy}{du}=-\frac{\ln a}{u^2}$。
• 再对$u = \ln x$关于$x$求导，根据求导公式$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$，可得$\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}$。

步骤三：计算$\frac{dy}{dx}$

将$\frac{dy}{du}=-\frac{\ln a}{u^2}$和$\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}$代入复合函数求导法则$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$中，可得：
$\frac{dy}{dx}=-\frac{\ln a}{u^2}\cdot\frac{1}{x}$
把$u = \ln x$代回上式，得到$\frac{dy}{dx}=-\frac{\ln a}{(\ln x)^2}\cdot\frac{1}{x}$。

步骤四：将结果转化为以$\log_a x$表示的形式

因为$\log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}$，所以$\frac{1}{\log_a x}=\frac{\ln a}{\ln x}$，则$(\frac{1}{\log_a x})^2=\frac{(\ln a)^2}{(\ln x)^2}$。
将$\frac{(\ln a)^2}{(\ln x)^2}=(\frac{1}{\log_a x})^2$代入$\frac{dy}{dx}=-\frac{\ln a}{(\ln x)^2}\cdot\frac{1}{x}$中，可得：
$\frac{dy}{dx}=-\left(\frac{1}{\log_a x}\right)^2\cdot\frac{1}{x\ln a}$