判断题(共5题,20.0分)-|||-23.(4.0分)随机变量的独立性等价于不相关-|||-性。-|||-A 正确-|||-B 错误

随机变量的独立性与不相关性的关系是本题的核心考查点。

• 独立性指两个随机变量之间不存在任何依赖关系，即一个变量的概率分布不受另一个变量的影响。
• 不相关性指两个随机变量的协方差为零，仅表示它们之间不存在线性关系。
  关键结论：独立必然导致不相关，但不相关不一定独立。因此，二者并非等价关系。

概念辨析

1. 独立性的定义：若随机变量$X$和$Y$满足对任意的$x,y$，有$P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)$，则称它们独立。此时，协方差$\text{Cov}(X,Y)=0$，即不相关。
2. 不相关性的定义：若$\text{Cov}(X,Y)=0$，则称$X$和$Y$不相关。此时仅排除线性关系，但可能存在非线性关系。

反例说明

假设$X$服从标准正态分布，令$Y=X^2$：

• 计算协方差：
  $\text{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]=E[X^3]-0 \cdot E[X^2]=0$
  （因$X$为奇次对称分布，$E[X^3]=0$）
• 独立性分析：$Y$完全由$X$决定，显然$X$和$Y$不独立。
  结论：存在不相关但不独立的情况，故二者不等价。