波长 的单色光垂直照射到宽度a = 0.25mm的单缝上,单缝后面放置一凸透镜,在凸透镜的焦平面上放置一屏幕,用以观测衍射条纹,今测得屏幕上中央明条纹一侧第三个暗条纹和另一侧第三个暗条纹之间的距离为d=12mm,则凸透镜的焦距f为:A. 2m；B. 1m；C. 0.5m；D. 0.2m；E. 0.1m。

本题考查单缝衍射现象中暗条纹位置的计算。解题核心在于掌握单缝衍射的暗条纹条件公式，并正确应用几何关系建立方程。关键点包括：

1. 暗条纹条件：单缝宽度$a$与波长$\lambda$满足$a \sin\theta = k\lambda$（$k$为衍射级数）。
2. 小角近似：当$\theta$较小时，$\sin\theta \approx \tan\theta = y/f$（$y$为屏幕上的位置，$f$为焦距）。
3. 对称性：中央明条纹两侧第三个暗条纹的总距离$d$需结合两侧位置计算。

公式推导

1. 单缝衍射暗条纹位置：
   根据暗条纹条件$a \sin\theta = k\lambda$，结合小角近似$\sin\theta \approx y/f$，得：
   $y_k = \frac{k\lambda f}{a}$
   其中$k$为衍射级数，本题中取$k=3$（第三个暗条纹）。

2. 总距离计算：
   中央明条纹两侧第三个暗条纹的总距离为：
   $d = 2y_3 = 2 \cdot \frac{3\lambda f}{a} = \frac{6\lambda f}{a}$

代入已知条件

题目给出$d=12\ \text{mm}=0.012\ \text{m}$，单缝宽度$a=0.25\ \text{mm}=0.25 \times 10^{-3}\ \text{m}$，代入公式：
$0.012 = \frac{6\lambda f}{0.25 \times 10^{-3}}$
解得：
$f = \frac{0.012 \cdot 0.25 \times 10^{-3}}{6\lambda}$

关键假设

题目未给出波长$\lambda$，但通过选项反推可知，隐含假设$\lambda=500\ \text{nm}$（可见光典型值）。代入$\lambda=500 \times 10^{-9}\ \text{m}$：
$f = \frac{0.012 \cdot 0.25 \times 10^{-3}}{6 \cdot 500 \times 10^{-9}} = 1\ \text{m}$