题目

某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难血液病的治愈率为0.8，医院任意抽查100个服用次药品的患者，若其中多于75人治愈，就接受此断言，否则就拒绝此断言。（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率为0.8，问接受这一断言的概率是多少？（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率为0.7，问接受这一断言的概率是多少？

某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难血液病的治愈率为0.8，医院任意抽查100个服用次药品的患者，若其中多于75人治愈，就接受此断言，否则就拒绝此断言。

（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率为0.8，问接受这一断言的概率是多少？

（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率为0.7，问接受这一断言的概率是多少？

题目解答

答案

（1）根据题意可知治愈人数 $X\sim B\left(100,0.8\right)$ ，接受药厂断言的概率为 $P\left(X>75\right)$ ，由中心极限定理可知 $\frac{X-80}{4}\sim N\left(0,1\right)$ ， $P\left(X>75\right)\ =\ 1-P\left(X\le75\right)\ =\ \ 1-\Phi\left(\frac{75-80}{4}\right)$

$=1-\Phi\left(-\frac{5}{4}\right)\ =\ \Phi\left(1.25\right)\ =\ 0.8944$ ，故概率为0.8944.

（2）此时 $X\sim B\left(100,0.7\right)$ ，与（1）完全同理，计算得 $P\left(X>75\right)\ =\ 0.1379$ ，故概率为0.1379.

解析

步骤 1：确定治愈人数的分布
根据题意，治愈人数$X$服从二项分布$B(100,0.8)$，即$X\sim B(100,0.8)$。
步骤 2：计算接受断言的概率
接受药厂断言的概率为$P(X>75)$，即$P(X\leqslant 75)$的补集。
步骤 3：应用中心极限定理
由中心极限定理，当$n$较大时，二项分布可以近似为正态分布。因此，$\dfrac {X-80}{4}\sim N(0,1)$，其中$80$是治愈人数的期望值，$4$是标准差。
步骤 4：计算概率
$P(X>75)=1-P(X\leqslant 75)=1-(\dfrac {75-80}{4})$75\right)\ =\ 1-P\left(X\le75\right)\ =\ \ 1-\Phi\left(\frac{75-80}{4}\right)" data-width="489" data-height="56" data-size="7034" data-format="png" style="max-width:100%">
$=1-(-\dfrac {5}{4})=(1.25)=0.8944$。
步骤 5：重复步骤1-4，但治愈率为0.7
此时$X\sim B(100,0.7)$，与步骤1-4完全同理，计算得$P(X>75)=0.1379$75\right)\ =\ 0.1379" data-width="202" data-height="26" data-size="2899" data-format="png" style="max-width:100%">