3.(单选题)样本x_(1),... x_(n)来自总体N(mu,sigma^2)，则总体方差sigma^2的无偏估计为( )。A. S_(1)^2=(1)/(n-1)sum_(i=1)^n(X_(i)-overline(X))^2B. S_(2)^2=(1)/(n-2)sum_(i=1)^n(X_(i)-overline(X))^2C. S_(3)^2=(1)/(n)sum_(i=1)^n(X_(i)-overline(X))^2D. S_(4)^2=(1)/(n+1)sum_(i=1)^n(X_(i)-overline(X))^2

本题考查的知识点是总体方差的无偏估计。解题的关键在于理解无偏估计的定义，即估计量的数学期望等于被估计的总体参数。对于本题，就是要找到一个关于样本的表达式，其数学期望等于总体方差$\sigma^{2}$。

下面我们来详细分析每个选项：

• 选项A：
  • 样本方差$S_{1}^{2}=\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$，其中$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$是样本均值。
  • 我们可以通过数学推导证明$E(S_{1}^{2})=\sigma^{2}$，具体推导过程如下：
    • 首先，$\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}=\sum_{i = 1}^{n}[(X_{i}-\mu)-(\overline{X}-\mu)]^{2}$。
    • 展开可得$\sum_{i = 1}^{n}[(X_{i}-\mu)^{2}-2(X_{i}-\mu)(\overline{X}-\mu)+(\overline{X}-\mu)^{2}]$。
    • 进一步计算$\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}-2(\overline{X}-\mu)\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\mu)+n(\overline{X}-\mu)^{2}$。
    • 因为$\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\mu)=n(\overline{X}-\mu)$，所以上式变为$\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}-2n(\overline{X}-\mu)^{2}+n(\overline{X}-\mu)^{2}=\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}-n(\overline{X}-\mu)^{2}$。
    • 已知$E(X_{i}-\mu)^{2}=D(X_{i})=\sigma^{2}$，$E(\overline{X}-\mu)^{2}=D(\overline{X})=\frac{\sigma^{2}}{n}$。
    • 则$E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}\right]=E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}-n(\overline{X}-\mu)^{2}\right]$。
    • 根据期望的线性性质$E(aX + bY)=aE(X)+bE(Y)$，可得$E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}-n(\overline{X}-\mu)^{2}\right]=\sum_{i = 1}^{n}E(X_{i}-\mu)^{2}-nE(\overline{X}-\mu)^{2}$。
    • 代入$E(X_{i}-\mu)^{2}=\sigma^{2}$和$E(\overline{X}-\mu)^{2}=\frac{\sigma^{2}}{n}$，得到$\sum_{i = 1}^{n}\sigma^{2}-n\times\frac{\sigma^{2}}{n}=(n - 1)\sigma^{2}$。
    • 所以$E(S_{1}^{2})=E\left[\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}\right]=\frac{1}{n - 1}E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}\right]=\frac{1}{n - 1}\times(n - 1)\sigma^{2}=\sigma^{2}$，满足无偏估计的定义，该选项正确。
• 选项B：
  • $S_{2}^{2}=\frac{1}{n - 2}\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$。
  • 由前面计算可知$E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}\right]=(n - 1)\sigma^{2}$，则$E(S_{2}^{2})=E\left[\frac{1}{n - 2}\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}\right]=\frac{1}{n - 2}E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}\right]=\frac{n - 1}{n - 2}\sigma^{2}$。
  • 因为$\frac{n - 1}{n - 2}>1$，所以$E(S_{2}^{2})>\sigma^{2}$，不满足无偏估计的定义，该选项错误。
• 选项C：
  • $S_{3}^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$。
  • 同样根据$E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}\right]=(n - 1)\sigma^{2}$，可得$E(S_{3}^{2})=E\left[\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}\right]=\frac{1}{n}E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}\right]=\frac{n - 1}{n}\sigma^{2}$。
  • 因为$\frac{n - 1}{n}<1$，所以$E(S_{3}^{2})<\sigma^{2}$，不满足无偏估计的定义，该选项错误。
• 选项D：
  • $S_{4}^{2}=\frac{1}{n + 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$。
  • 由$E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}\right]=(n - 1)\sigma^{2}$，可得$E(S_{4}^{2})=E\left[\frac{1}{n + 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}\right]=\frac{1}{n + 1}E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}\right]=\frac{n - 1}{n + 1}\sigma^{2}$。
  • 因为$\frac{n - 1}{n + 1}<1$，所以$E(S_{4}^{2})<\sigma^{2}$，不满足无偏估计的定义，该选项错误。