题目
4.设总体Xsim P(lambda)，X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自总体X的一个样本，求λ的矩估计量和最大似然估计量.
4.设总体$X\sim P(\lambda)$，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自总体X的一个样本，求λ的矩估计量和最大似然估计量.
题目解答
答案
**矩估计量：**
泊松分布的期望 $E(X) = \lambda$，用样本均值 $\overline{X}$ 估计期望，得
\[
\hat{\lambda}_{\text{矩}} = \overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i
\]
**最大似然估计量：**
似然函数 $L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} \frac{\lambda^{X_i} e^{-\lambda}}{X_i!}$，取对数得
\[
\ln L(\lambda) = \sum_{i=1}^{n} X_i \ln \lambda - n\lambda - \sum_{i=1}^{n} \ln X_i!
\]
求导并令其为零，解得
\[
\hat{\lambda}_{\text{MLE}} = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{n} = \overline{X}
\]
**结论：**
$\lambda$ 的矩估计量和最大似然估计量均为 $\boxed{\overline{X}}$。
解析
本题主要考查参数估计中的矩估计法和最大似然估计法，下面分别对这两种方法进行详细分析分析。
矩估计法
矩估计法的基本思想是用样本矩来估计总体矩。对于本题，总体$X\sim P(\lambda)$，我们需要先求出总体的一阶矩（即期望），再用样本的一阶矩（样本均值）来估计总体的一阶矩，从而得到参数$\(\lambda$)的矩估计量。
- 步骤一：求总体$X$的期望$E(X)$
已知总体$X\sim P(\lambda)$，根据泊松分布的性质，其期望$E(X)=\lambda$。 - 步骤二：求样本均值$\overline{X}$样本均值$\overline{X}$的计算公式为$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$，其中$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自总体$X$的一个样本。- 步骤三：用样本均值$\overline{X}$估计总体期望$E(X)$根据矩估计法的思想，令$E(X)=\overline{X}$，即$\(\lambda$)$=\overline{X}$，所以$\lambda$的矩估计量为$\hat{\lambda}_{矩}=\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$。
最大似然估计法最大似然估计法的基本思想是，在已知总体分布的情况下，找到一个参数值，使得样本出现的概率最大。对于本题中，我们先写出似然函数，然后对似然函数取对数，再求导并令导数为零，最后解出参数$\(\lambda$)的最大似然估计量。
- 步骤一：写出似然函数$L(\lambda)$因为$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自总体$X\sim P(\lambda)$的一个样本，且样本的联合概率密度函数就是似然函数，所以$L(\lambda)=\prod_{i = 1}^{n}P(X_{i}=x_{i}})=\prod_{i = 1}^{n}\frac{\lambda^{X_{i}}e^{-\lambda}}{X_{i}!}$，其中$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$是样本的一组观测值。- 步骤二：对似然函数取对数$\ln L(\lambda)$对$L(\lambda)$取对数可得：$\ln L(\lambda)=\ln\left(\prod_{i = 1}^{n}\frac{\lambda^{X_{i}}e^{-\lambda}}{X_{i}!}\right)$。根据对数的运算法则$\ln(ab)=\ln a+\ln b$和$\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b$，进一步化简为：$\ln L(\lambda)=\sum_{i = 1}^{n}\ln\left(\lambda^{X_{i}}e^{-\lambda})-\sum_{i = 1}^{n}\ln(X_{i}!)$。再根据对数运算法则$\ln a^{b}=b\ln a$，得到$\ln L(\lambda)=\sum_{i = 1}^{n}X_{i}\ln\lambda - n\lambda-\sum_{i = 1}^{n}\ln(X_{i}!)$。- 步骤三：求导并令其为零对$\ln L(\lambda)$关于$\lambda$求导：$\(\frac{d\ln L(\lambda)}{d\lambda}=\frac{d}{d\lambda}\left(\sum_{i = 1}^{n}X_{i}\ln\lambda - n\lambda-\sum_{i = 1}^{n}\ln(X_{i}!)\right)$。根据求导过程中，$\sum_{i = 1}^{n}\ln(X_{i}!)$是常数，其导数为$0\(0$；根据求导公式$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$和$(x^n)^\prime = 1$，可得$\frac{d\ln L(\lambda)}{d\lambda}=\frac{1}{\lambda}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}-n$。令$\frac{d\ln L(\lambda)}{d\lambda}=0$，即$\frac{1}{\lambda}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}-n = 0$。- 步骤四：求解$\lambda$的最大似然估计量由$\frac{1}{\lambda}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}-n = 0$，移项可得$\frac{1}{\lambda}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}=n$，进一步解得$\lambda=\frac{\sum_{i = 1}^{n}X_{i}}{n}=\overline{X}$，所以$\lambda$的最大似然估计量为$\hat{\lambda}_{MLE}=\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$。