题目
6.设总体X的概率密度为-|||-(x;theta )= ) (e)^-(x-theta ), xgeqslant theta 0, xlt theta .-|||-而X1,X2,···,Nn是来自总体X的简单随机样本,则未知参数θ的矩估计量为_ x-1.
题目解答
答案
答案见上
解析
步骤 1：确定总体X的期望
根据给定的概率密度函数，我们首先计算总体X的期望E(X)。由于X的概率密度函数是指数分布，其期望值可以通过积分计算得到。
\[ E(X) = \int_{\theta}^{\infty} x e^{-(x-\theta)} dx \]
步骤 2：计算积分
我们可以通过分部积分法计算上述积分。设u = x，dv = $e^{-(x-\theta)}$dx，则du = dx，v = $-e^{-(x-\theta)}$。因此，
\[ E(X) = \left[ -x e^{-(x-\theta)} \right]_{\theta}^{\infty} + \int_{\theta}^{\infty} e^{-(x-\theta)} dx \]
\[ = 0 + \left[ -e^{-(x-\theta)} \right]_{\theta}^{\infty} \]
\[ = 0 + 1 = \theta + 1 \]
步骤 3：求解矩估计量
根据矩估计法，总体的期望E(X)等于样本均值$\overline{x}$。因此，我们有
\[ \theta + 1 = \overline{x} \]
从而得到未知参数θ的矩估计量为
\[ \hat{\theta} = \overline{x} - 1 \]
根据给定的概率密度函数，我们首先计算总体X的期望E(X)。由于X的概率密度函数是指数分布，其期望值可以通过积分计算得到。
\[ E(X) = \int_{\theta}^{\infty} x e^{-(x-\theta)} dx \]
步骤 2：计算积分
我们可以通过分部积分法计算上述积分。设u = x，dv = $e^{-(x-\theta)}$dx，则du = dx，v = $-e^{-(x-\theta)}$。因此，
\[ E(X) = \left[ -x e^{-(x-\theta)} \right]_{\theta}^{\infty} + \int_{\theta}^{\infty} e^{-(x-\theta)} dx \]
\[ = 0 + \left[ -e^{-(x-\theta)} \right]_{\theta}^{\infty} \]
\[ = 0 + 1 = \theta + 1 \]
步骤 3：求解矩估计量
根据矩估计法，总体的期望E(X)等于样本均值$\overline{x}$。因此，我们有
\[ \theta + 1 = \overline{x} \]
从而得到未知参数θ的矩估计量为
\[ \hat{\theta} = \overline{x} - 1 \]