若 y=int_(0)^x(sin t+cos tcdot sin t) , dt，则 y 的最大值是A. 1B. 2C. -(7)/(2)D. 0

我们来逐步分析并解答这个题目：

题目给出：

$y = \int_0^x (\sin t + \cos t \cdot \sin t) \, dt$

要求的是 $ y $ 的最大值。

第一步：化简被积函数

被积函数是：
$\sin t + \cos t \cdot \sin t$

我们可以提取公因式 $ \sin t $：
$\sin t (1 + \cos t)$

所以：
$y = \int_0^x \sin t (1 + \cos t) \, dt$

第二步：计算不定积分

我们先求不定积分：
$\int \sin t (1 + \cos t) \, dt$

令我们做一个代换，令：
$u = \cos t \quad \Rightarrow \quad du = -\sin t \, dt$

所以：
$\int \sin t (1 + \cos t) \, dt = \int (1 + \cos t) \cdot \sin t \, dt = -\int (1 + u) \, du$

计算：
$-\int (1 + u) \, du = -\left( u + \frac{u^2}{2} \right) + C = -\cos t - \frac{\cos^2 t}{2} + C$

所以原函数是：
$F(t) = -\cos t - \frac{1}{2} \cos^2 t$

第三步：计算定积分

$y = \int_0^x \sin t (1 + \cos t) \, dt = F(x) - F(0)$

先算 $ F(x) = -\cos x - \frac{1}{2} \cos^2 x $

再算 $ F(0) = -\cos 0 - \frac{1}{2} \cos^2 0 = -1 - \frac{1}{2}(1)^2 = -1 - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} $

所以：
$y = \left( -\cos x - \frac{1}{2} \cos^2 x \right) - \left( -\frac{3}{2} \right) = -\cos x - \frac{1}{2} \cos^2 x + \frac{3}{2}$

第四步：求 $ y $ 的最大值

令：
$y(x) = -\cos x - \frac{1}{2} \cos^2 x + \frac{3}{2}$

由于 $ \cos x $ 是周期函数，取值范围是 $ [-1, 1] $，我们可以令：
$u = \cos x, \quad u \in [-1, 1]$

则：
$y(u) = -u - \frac{1}{2} u^2 + \frac{3}{2}$

这是一个关于 $ u $ 的二次函数，我们来求它在 $ [-1, 1] $ 上的最大值。

整理一下：
$y(u) = -\frac{1}{2} u^2 - u + \frac{3}{2}$

这是一个开口向下的抛物线（因为二次项系数为负），其顶点在：
$u = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = \frac{1}{-1} = -1$

顶点在 $ u = -1 $，刚好在区间左端点。

所以我们只需比较端点 $ u = -1 $ 和 $ u = 1 $ 的函数值即可。

计算：

• 当 $ u = -1 $：
  $y = -\frac{1}{2}(-1)^2 - (-1) + \frac{3}{2} = -\frac{1}{2} + 1 + \frac{3}{2} = (-0.5 + 1) + 1.5 = 0.5 + 1.5 = 2$

• 当 $ u = 1 $：
  $y = -\frac{1}{2}(1)^2 - 1 + \frac{3}{2} = -0.5 -1 + 1.5 = -1.5 + 1.5 = 0$

再检查一下中间是否有更大值？由于顶点在 $ u = -1 $，而抛物线开口向下，所以在 $ [-1,1] $ 上最大值在 $ u = -1 $ 处取得。

因此，$ y $ 的最大值是：
$\boxed{2}$

第五步：验证是否能取到

当 $ \cos x = -1 $，即 $ x = \pi + 2k\pi $ 时，可以取到。

例如 $ x = \pi $，此时 $ y = 2 $，是可以实现的。

最终答案：

$\boxed{B. \ 2}$