题目
17.设X1,X2,···,Xn是来自参数为λ的泊松分布的样本,试证对任意常数k,统计量 +-|||-(1-k)(S)^2 是λ的无偏估计量。
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义统计量
统计量 $k\overline {X}+(1-k){S}^{2}$，其中 $\overline {X}$ 是样本均值，${S}^{2}$ 是样本方差，k 是任意常数。
步骤 2：计算期望
计算统计量的期望值 $E(k\overline {X}+(1-k){S}^{2})$。根据期望的线性性质，可以将其分解为 $kE(\overline {X})+(1-k)E({S}^{2})$。
步骤 3：利用泊松分布的性质
由于样本来自参数为λ的泊松分布，我们知道泊松分布的均值和方差都是λ。因此，$E(\overline {X})=E(X)=\lambda$，$E({S}^{2})=D(X)=\lambda$。
步骤 4：代入计算
将上述结果代入期望的表达式中，得到 $kE(\overline {X})+(1-k)E({S}^{2})=k\lambda+(1-k)\lambda$。
步骤 5：简化表达式
简化上述表达式，得到 $k\lambda+(1-k)\lambda=\lambda$。
步骤 6：结论
由于统计量的期望值等于参数λ，因此统计量 $k\overline {X}+(1-k){S}^{2}$ 是λ的无偏估计量。
统计量 $k\overline {X}+(1-k){S}^{2}$，其中 $\overline {X}$ 是样本均值，${S}^{2}$ 是样本方差，k 是任意常数。
步骤 2：计算期望
计算统计量的期望值 $E(k\overline {X}+(1-k){S}^{2})$。根据期望的线性性质，可以将其分解为 $kE(\overline {X})+(1-k)E({S}^{2})$。
步骤 3：利用泊松分布的性质
由于样本来自参数为λ的泊松分布，我们知道泊松分布的均值和方差都是λ。因此，$E(\overline {X})=E(X)=\lambda$，$E({S}^{2})=D(X)=\lambda$。
步骤 4：代入计算
将上述结果代入期望的表达式中，得到 $kE(\overline {X})+(1-k)E({S}^{2})=k\lambda+(1-k)\lambda$。
步骤 5：简化表达式
简化上述表达式，得到 $k\lambda+(1-k)\lambda=\lambda$。
步骤 6：结论
由于统计量的期望值等于参数λ，因此统计量 $k\overline {X}+(1-k){S}^{2}$ 是λ的无偏估计量。