题目

设X服从标准正态分布，且有Phi(1.96)=0.975，则P{|X|>1.96=____。

设X服从标准正态分布，且有$\Phi(1.96)=0.975$，则 $P\{|X|>1.96$=$____。

题目解答

答案

要解决这个问题，我们需要使用标准正态分布的性质和给定的 $\Phi(1.96) = 0.975$ 的信息。标准正态分布的累积分布函数（CDF）$\Phi(z)$ 表示标准正态随机变量 $X$ 小于或等于 $z$ 的概率，即 $P(X \leq z)$。 题目要求我们找到 $P\{|X| > 1.96\}$。根据绝对值的定义，这个概率可以分解为两个部分： \[ P\{|X| > 1.96\} = P\{X > 1.96\} + P\{X < -1.96\} \] 由于标准正态分布是关于0对称的，因此 $P\{X < -1.96\} = P\{X > 1.96\}$。所以，我们可以将上式重写为： \[ P\{|X| > 1.96\} = 2P\{X > 1.96\} \] 接下来，我们需要找到 $P\{X > 1.96\}$。由于 $\Phi(1.96) = P\{X \leq 1.96\}$，我们有： \[ P\{X > 1.96\} = 1 - P\{X \leq 1.96\} = 1 - \Phi(1.96) = 1 - 0.975 = 0.025 \] 现在，将这个结果代入我们之前的表达式中，得到： \[ P\{|X| > 1.96\} = 2 \times 0.025 = 0.05 \] 因此，答案是： \[ \boxed{0.05} \]

解析

本题考查标准正态分布的性质及概率计算。解题思路如下：

  1. 首先明确题目要求计算$P\{|X|>1.96\}$，根据绝对值的性质，$\vert X\vert>1.96$等价于$X > 1.96$或$X < -1.96$，所以$P\{|X| > 1.96\} = P\{X > 1.96\} + P\{X < -1.96\}$。
  2. 因为标准正态分布$X\sim N(0,1)$关于$x = 0$对称，所以$P\{X < -1.96\}=P\{X > 1.96\}$，那么$P\{|X| > 1.96\} = 2P\{X > 1.96\}$。
  3. 已知标准正态分布的累积分布函数$\varPhi(z)=P\{X\leq z\}$，且$\varPhi(1.96) = 0.975$，根据概率的基本性质$P\{X > 1.96\}=1 - P\{X\leq 1.96\}$，即$P\{X > 1.96\}=1-\varPhi(1.96)$。
  4. 将$\varPhi(1.96) = 0.975$代入上式可得：
    • $P\{X > 1.96\}=1 - 0.975=0.025$。
  5. 最后将$P\{X > 1.96\}=0.025$代入$P\{|X| > 1.96\} = 2P\{X > 1.96\}$可得：
    • $P\{|X| > 1.96\}=2\times0.025 = 0.05$。