一个容器的下部分为高12厘米的倒立圆锥体，上部分为圆柱体，且圆锥和圆柱的底面半径相等。现匀速向容器中注入水，1分钟后液面高6厘米，又过30分钟后注满。问整个容器的高度为多少厘米？A. 22B. 22.5C. 23D. 23.5

我们来一步步分析这道题。 --- ### **题目理解：** - 容器由两部分组成： - **下部分**：倒立圆锥，高12厘米。 - **上部分**：圆柱，底面半径与圆锥相同。 - **匀速注水**： - 1分钟后水面高度为6厘米。 - 再过30分钟（即总共31分钟）注满。 - 问：**整个容器的高度是多少？** --- ### **第一步：设变量** 设： - 圆锥和圆柱的底面半径为 $ r $（单位：厘米）。 - 圆柱部分的高度为 $ h $（单位：厘米）。 - 容器总高度为 $ H = 12 + h $（单位：厘米）。 --- ### **第二步：体积公式** - 圆锥体积公式： $$ V_{\text{圆锥}} = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot 12 = 4\pi r^2 $$ - 圆柱体积公式： $$ V_{\text{圆柱}} = \pi r^2 \cdot h $$ - 容器总容积： $$ V_{\text{总}} = 4\pi r^2 + \pi r^2 h = \pi r^2 (4 + h) $$ --- ### **第三步：分析注水过程** - 注水速度是**匀速**，设为 $ v $（单位：体积/分钟）。 - 第1分钟注水体积为 $ v $，液面高度为6厘米。 - 这说明前6厘米的体积是 $ v $。 - 再过30分钟注满，总共注水时间是31分钟，注水总体积为 $ 31v $。 --- ### **第四步：前6厘米的形状** 前6厘米的水位于**圆锥部分**（因为圆锥高12厘米）。 设圆锥中高为6厘米的水的体积为 $ V_6 $。 由于是倒立圆锥，水面高度为6厘米时，水的形状是一个**小圆锥**，高6厘米，底面半径与原圆锥成比例。 - 原圆锥高12厘米，底面半径为 $ r $。 - 当高为6厘米时，底面半径为 $ \frac{6}{12} r = \frac{1}{2} r $ 所以水的体积为： $$ V_6 = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{1}{2}r\right)^2 \cdot 6 = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{1}{4} r^2 \cdot 6 = \frac{1}{2} \pi r^2 $$ 这个体积等于1分钟注水量 $ v $，所以： $$ v = \frac{1}{2} \pi r^2 $$ --- ### **第五步：总注水量** 总注水量为： $$ 31v = 31 \cdot \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{31}{2} \pi r^2 $$ 而容器总容积为： $$ V_{\text{总}} = \pi r^2 (4 + h) $$ 所以： $$ \pi r^2 (4 + h) = \frac{31}{2} \pi r^2 $$ 两边都除以 $ \pi r^2 $ 得： $$ 4 + h = \frac{31}{2} = 15.5 $$ 解得： $$ h = 15.5 - 4 = 11.5 $$ --- ### **第六步：总高度** 圆锥高12厘米，圆柱高11.5厘米： $$ H = 12 + 11.5 = \boxed{23.5} \text{ 厘米} $$ --- ### ✅ **答案：D. 23.5**